高考文科数学参数方程-学科素养、考情、考点突破(42张)

选修4-4坐标系与参数方程第二节参数方程最新考纲考情索引核心素养1.了解参数方程及其参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.2018·全国卷Ⅱ，T222018·全国卷Ⅲ，T222017·全国卷Ⅰ，T222017·全国卷Ⅲ，T222016·全国卷Ⅱ，T231.数学运算2.逻辑推理1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数________，________并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．x＝f（t）y＝g（t）2．参数方程与普通方程的互化通过消去_____从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程．参数3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)1．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A、B两点，若直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB|＝|t1－t2|.(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.2．在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．1．概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)参数方程x＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量．()(3)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．()(4)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．教材衍化(1)(人A选修4－4·P25例3)曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值是____．解析：(1)由x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ，得cosθ＝x＋1，sinθ＝y－2，所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上．(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.答案：(1)B(2)33．典题体验(1)若曲线C的参数方程为x＝1＋cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A．直线x＋2y－2＝0B．以(2，0)为端点的射线C．圆(x－1)2＋y2＝1D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段(2)(2018·天津卷)已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线x＝－1＋22t，y＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．(3)(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2，y＝22s(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解析：(1)将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0，又0≤x≤2，所以曲线C上点的轨迹是一条线段．(2)将直线的参数方程化为普通方程，为y＝－x＋2.联立方程组y＝－x＋2，x2＋y2－2x＝0，可求得A，B两点的坐标分别为(1，1)，(2，0)．故|AB|＝2.又圆心C到直线AB的距离d＝22，故S△ABC＝12×2×22＝12.答案：(1)D(2)12(3)解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2，22s)，从而点P到直线l的距离d＝|2s2－42s＋8|12＋（－2）2＝2（s－2）2＋45.当s＝2时，dmin＝455.因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.考点1参数方程与普通方程的互化(自主演练)【例1】已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.所以实数a的取值范围是[－25，25]．【例2】《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足|PA||PB|＝λ(λ0且λ≠1)，P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为|OM||MA|＝12，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．解：由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0，0)，A(3，0)．因为|OM||MA|＝12，即x2＋y2（x－3）2＋y2＝12，化简得(x＋1)2＋y2＝4，所以点M的轨迹是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．由圆的参数方程可得x＝2cosθ－1，y＝2sinθ(θ为参数)．1．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．另外，消参时要注意参数的范围．2．普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出．考点2参数方程及其应用(讲练互动)【例1】(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0，或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8;当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.【例2】(2019·石家庄调研)已知在极坐标系中，点A2，π6，B23，2π3，C是线段AB的中点．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是x＝2cosθ，y＝－2＋2sinθ(θ为参数)．(1)求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；(2)设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求CP→·CQ→的值．解：(1)将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(3，1)和B(－3，3)．所以点C的直角坐标为(0，2)．将x＝2cosθ，y＝－2＋2sinθ消去参数θ，得x2＋(y＋2)2＝4，所以曲线Ω的普通方程为x2＋(y＋2)2＝4.(2)设直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数，α为直线l的倾斜角)，代入x2＋(y＋2)2＝4，整理得t2＋8tsinα＋12＝0.设点P，Q对应的参数值分别为t1，t2，则t1t2＝12，CP→·CQ→＝|CP→||CQ→|＝|t1t2|＝12.1．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．2．过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是P0P→的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分．对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[变式训练](2019·郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsinθ－π4＝2.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.解：(1)由x＝3cosα，y＝sinα消去参数α，得x29＋y2＝1，即C的普通方程为x29＋y2＝1，由ρsinθ－π4＝2，得ρsinθ－ρcosθ＝2，①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入①得y＝x＋2，所以直线l的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，设直线l的参数方程为x＝tcosπ4，y＝2＋tsinπ4.将x＝22t，y＝2＋22t，代入椭圆x29＋y2＝1，化简得5t2＋182t＋27＝0，且Δ＝1080.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－18250，t1t2＝2750，所以t10，t20，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝1825.考点3参数方程与极坐标方程的综合应用(讲练互动)【例1】(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝1k(x＋2)．设P(x，y)，由题设得y＝k（x－2），y＝1k（x＋2），消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0θ2π，θ≠π)，联立ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0，得cosθ－sinθ