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1/7小学数学“运算能力”相关研究述评摘要运算能力是小学生最基本的数学能力，同时具有实用性。数学运算能力渗透在数学学习的各个方面，是运算技能和逻辑思维的有机整合。当前国内外对数学运算能力的研究对象主要在中学和高中阶段，对小学生的运算能力研究甚少;研究内容集中在运算能力的影响因素，且与国内外研究的角度不同；对提高运算能力的策略缺乏理论支持，研究的深度和高度不够，从而导致数学运算能力培养缺乏针对性。关键词小学生数学能力运算能力因素《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出了数学十大核心素养，其一为“运算能力”，无疑是对运算能力在小学数学教学中的地位和作用的肯定。数的运算在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比，运算能力直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。[1]但是随着新课改的推进，数学课程标准的基本理念要求数学的基础性、普遍性，删除了繁难偏旧的内容，对运算的要求也随之降低。同时随着计算技术的迅猛发展，人们对它的依赖也使计算教学中中最常用和最基础的知识发生了变化。国内外对数学运算能力的研究基本呈上升趋势。本论述通过对CNKI中收集的十余篇期刊和硕博论文整理，对运算能力的概念、特征，小学生运算能力的历史演变，国内外对运算能力的研究内容，以及之后对运算能力的发展方向做如下综述：一、关于概念的研究1（一）数学能力前苏联心理学家克鲁捷茨基系统地研究了数学能力的性质和结构，提出数学能力有九种成分组成，包括：概括数学材料的能力，能使数学材料形化，并用形式的结构即关系和联系的结构来进行运算能力，能用数学和其它符号来进行运算能力，连续而有节奏的逻辑推理能力，缩短推理过程的能力，逆转心理的过程的能力，思维灵活性能力，数学记忆能力，形成空间概念能力。[2]我国学者林崇德说：“数学能力结构是以概括为基础的开放性生态系统，是三种基本数学能力（运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力）与五种思维品质（思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性）相互交叉的统一整体。”[3]田万海认为：“数学能力就是一种特殊能力，它是指在数学学习和数学发明创造中[1]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社,2009.[2]克鲁捷茨基.中小学数学能力心理学[M].上海:上海教育出版社,1983.[3]林崇德.中学数学教学心理学[M].北京教育出版社,2000,125.2/7表现出来的能力。”[4]章士藻教授认为“在数学中，能力一般是指运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及由此产生的分析问题、解决问题的能力等。”[5]由此可见数学能力包含多种思维发展能力，其中包括了运算能力，而这几种思维能力优势相辅相成的，相互促进的，所以研究运算能力之前也需解释一下数学能力。（二）数学运算能力曹才翰先生在《中国中学教学百科全书·数学卷》（1991年版）中指出，运算能力并非一种单一的数学能力,它是运算技能与逻辑思维能力的一种独特结合。他指出学生运算能力的发展主要通过数学解题活动来实现。学生的运算能力主要表现为能正确、迅速的感知题目形式，确定题目类型，根据题目类型选择解题模式、解题方法，然后多方向的寻求解题方法，摆脱思维定势，力求解法简洁合理，并对题目类型、解题模式方法进行反思总结概括等。[6]章士藻先生认为运算是根据运算法则与公式对具体对象进行变形的演绎过程，而运算能力是指根据法则、公式等正确进行运算，而且理解运算的算理，能够根据运算的条件寻求合理、简洁的运算途径。[7]罗增儒则认为运算能力包括计算技能和逻辑思维。计算技能体现在：能记住数学公式及计算法则，能运用概念、性质进行有关计算和推导；能正确、迅速的得出运算结果，过程合理、推导严密。逻辑思维则体现在：合理运用公式法则进行推理，能简化运算，能对运算结果进行检查和判断，自我改正运算中的各类错误等。[8]《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”[9]尽管运算能力的表述形式多样，内容上都大同小异。综上所述，笔者认为运算能力是运算技能与数学思维的结合，主要指能够根据概念、公式、法则、定理等对题目进行正确的运算，及在理解运算算理的基础上，能够借助数学思想方法，寻求合理的运算途径，并可以灵活地解决问题。二、国内外关于“运算能力“内容的研究2（一）国内相关研究1.1我国小学数学“运算能力“的历史演变我国的小学数学教学中，历来重视计算教学。1952年至2000年大纲对小学[4]田万海.数学教育学[M].浙江教育出版社,2002,197.[5]章士藻.中学数学教育学[M].江苏教育出版社,1991,124.[6]曹才翰主编.中国中学教学百科全书·数学卷.沈阳:沈阳出版社,1991.[7]章士藻.中学数学教育学.第一版.北京:高等教育出版社,2007.[8]罗增儒,李文铭.数学教学论[M].陕西师范大学出版社,2003.[9]教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京师范大学出版社,2011.3/7生计算能力3的要求主要在整数、小数与分数的口算和四则运算，考核的关键也就在大量且快速计算的准确度。2001年《数学课程标准（实验稿）》虽然没有单独提出“运算能力”这个概念，但是提出了不同学段在运算技能和了解数量关系的要求。在最新版的《标准》中，把“运算能力”作为一个核心概念提出，并且提出“培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”，[10]把运算能力的培养放在一个更加重要的位置，并且更加注重运算能力的是实用性。强调了对口算和估算的教学，提倡算法多样化，并将计算器引入到了小学计算教学之中。《〈数学课程标准（2011年版）〉解读》明确指出：“运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。”[11]以上可以看出，运算能力关注的不是教给学生简单的计算来应对实际生活，而是注重培养学生在正确的运算，理解运算算理的基础上，可以借助数学思想方法，优化发展学生的数学思维。1.2相关内容的研究1.22义务教育课程标准（2011年版）之前，学者们的主要研究内容：多数学者研究小学数学运算能力的地区、性别和年级差异：李丽(2006)主要研究的数学能力的地区差异，结果显示：城市较高于农村，东部沿海地区高于西南地区的学生数学能力。张怀英等对海南省小学生数学能力基础水平进行了调查分析，研究表明，小学中男生数学运算能力的得分都高于女生，但随着年级的不断升高，在数学运算领域局域处于优秀和中上等的学生比例呈上升趋势(四年级除外)。周军对武汉市小学生数学能力现状调查的研究结果发现，三、四年级小学生数学运算能力得分高于一、二、五、六年级。且阐述了其此状况在学生思维和知识逻辑上造成差异的原因。还有学者从影响数学运算能力的因素进行研究：夏小刚(2000)从不同民族的角度进行了调查，得出“文化背景差异对学生运算能力的发展具有明显的影响作用，特别是教师的教学观念和学生父母的文化程度成为影响学生运算能力发展的重要因素”。[12]李丽在对小学生数学能力发展水平现状研究发现：文化、经济背景、家庭教育和学前教育、学校教学活动的水平等因素造成了小学生数学运算能[10]教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京师范大学出版社,2011.[11]王永春.小学数学运算能力的培养应与时俱进[J].教学研究,2012(10).[12]夏小刚.布依族、汉族地区初中学生数学运算能力的跨文化研究[D].贵州师范大学,2000.4/7力的差异。[13]这些研究都是关注小学生的数学能力方面，且主要集中在数学运算能力的影响因素上。司继伟博士（2002）则从小学生估算能力的现状，影响小学儿童估算能力的外部和内部因素，提高小学生估算能力的策略等几个方面对小学估算能力做了全面的研究。梅芳（2007）从小学生计算能力的现状，小学生计算兴趣，提高小学生计算能力的具体对策等几方面做了细致研究。虽然这两者对小学生的计算能力的现状和策略进行了分析，但是这也是在新课程标准之前。1.22新版课程标准之后，学者们的研究内容：然而国内大多数关于数学运算能力的研究都集中在初中和高中阶段，有关小学生数学运算能力方面的研究远不如在初、高中阶段的研究多，其研究内容的深度和广度也不及初高中。那些关注初高中生数学运算能力的文章内容相近，大多集中在激发学生的数学运算的兴趣，加强基础知识的教学，熟练掌握算理及科学合理的训练等。这些文章关注的内容较窄，仅关注数学运算能力的培养，对初高中生数学运算能力的影响因素缺乏深层次的思考，从而导致数学运算能力的培养缺乏针对性。也有几篇关于小学生数学运算能力的文章，比如苏井生《小学数学运算能力培养研究》和齐迎春《新课程下关于小学数学运算教学的思考》，两篇文章只是泛泛的谈了培养的策略。而王永春《小学数学运算能力的培养应与时俱进》，它阐述的运算能力比较全面，包括运算能力的不同阶段的认识，影响小学生运算能力的主客观因素和具体的培养策略，本人认为这4篇文章既具体又有一定深度，结合实践分析透彻，极具代表性。（二）国外相关研究1.1国外研究的主要方面：在数学能力的影响因素方面，国外学者从性别、年级、焦虑与态度、文化神经学、大脑变性形态学角度进行论述：MichelDesert（2007）探究了四年级和七年级两个年级的男女生在数学能力上的性别差异。他认为孩子们对赞同男孩在数学能力性别刻板印象并没有清晰的意识，然而研究结果表明不论哪个年级的女孩子都认为她们比男孩子们做的更好。而当她们的性别认同感有显著差异时，男孩子们认为女孩们过高的估计了她们的数学成绩。另一方面，不考虑女孩们在年龄和刻板意识或者个人信仰，当她们的性别认同感有显著差异时，她们的数学成绩都高于性别认同感没有显著差异时期。[14]也有研究数据显示数学能力低的学生频繁出现高级别的焦虑，并且会影响到学习和涉及到学生能力的获得、精力集中和对数据问题的解码。基本数学能[13]李丽.中国小学生基本数学能力发展水平现状抽样研究[J].公共卫生与预防医学,2006,04:42-49.[14]DelphineMartinot.MichelDesert,Awarenessofagenderstereotype,personalbeliefsandself-perceptionsregardingmathability:whenboysdonotsurpassgirls[J],SocPsycholEduc,2007,10:455-471.5/7力被发现与态度和焦虑有关，同时也是影响大学生学习的重要因素。AishaMahmood,MohdFauziOthman,YudariahMohammadYusof（2012）用文化神经科学的观点提出了一个关于数学思维、数学技能、数学能力、数学过程以及数学成绩的概念框架。[15]数学思维和文化神经学的双向交互影响常常被用来探索数学思考反应在受到文化的影响时，学习方式、思维模式和神经性行为方面的差异。还有学者研究了儿童数学能力和大脑结构之间的关系研究者运用大脑变形形态学展示脑部形态和数学精通方面的相关性。根据近些年的文献显示，与国内的研究主要集中在区分测试各项数学能力阶段不同，国外的研究从更细致更加精确的角度分析数学能力与其他因素的相关性，尤其是心理学以及生理学方面，应该是更具研究的专业性。1.2国外近几年数学运算能力的现状：目前，加强和提高学生的运算能力已成为国际数学教育改革的重要内容之一。美国、日本、新加坡等都对课程标准提出了相应的技能和要求。美国开始重视基础知识和基本技能在解决问题中重要作用，认为使用高效的、精确的运算方式进行运算是必要