三角函数最值问题基本题型分析

三角函数最值问题基本题型分析济宁一中贾广素(邮编：272000)电话：[phone]求三角函数的最值问题是三角函数性质的一个重要的应用，其主要的思路就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类型的三角函数或代数函数，然后利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理。因此我们有必要对几种基本类型的三角函数加以研究，以便于我们找到共同的方法去处理这类问题。本文从几种常见的求三角函数最值问题的基本题型出发，来分析一下这类题目的解法。一、bxaysin(或bxaycos)型基本思路：利用1sinx(或1cosx)即可求解，但必须注意字母a的符号对最值的影响。例1、求函数bxaysin0a的最大值。解：由于1sinx，所以1sin1x，且0a，从而函数bxaysin0a的最大值为ba。二、xbxaycossin型基本思路：引入辅助角，化为)sin(22xbay，利用1)sin(x即可求解。例2、求函数xxycos3sin4的值域。解：由xxycos3sin4得：)sin(3422xy)sin(5x(其中43tan)。由1|)sin(|x得5,5y。三、cxbxaysinsin2(或cxxycoscos2)型基本思路：可令xtsin(或xtcos)1t化归为闭区间上的二次函数的最值问题。例3、求函数3cos2sin2xxy的值域。分析：此类题目可以转化为cxxycoscos2型的三角函数的最值问题。解：由于3cos2sin2xxy3cos2cos12xx2cos2cos2xx，令xtcos1t则原式转化为：222tty1t对上式配方得：1)1(2ty1t从而当1t时，5miny；当1t时，1maxy。所求函数的值域为1,5。四、dxcbxaysinsin(或dxcbxaycoscos)型基本思路：解出xsin(或xcos)，利用1sinx(或1cosx)去解或利用分离常数的方法去求解。例4、求函数1cos2cosxxy的值域。分析：由1cos2cosxxy求出xcos后，运用1cosx求出y的范围。解：由1cos2cosxxy可得yxycos2121y，yyx21cos1cosx1cos2x即1)21()21(222yyyy，即,01432yy31y或1y。故函数1cos2cosxxy的值域为,131,。五、dxcbxaycossin(或dxcbxaysincos)型基本思路：可化归为)()sin(ygx去处理；或用万能公式换元后利用判别式法去处理，特别ca时，还可以利用数形结合法去处理。例5、求3cos2sinxxy的值域。分析：此题我们采用化归为)()sin(ygx去处理。解：由3cos2sinxxy得：yxxy32sincos，yxy32)sin(12，132)sin(2yyx又由于1|132||)sin(|2yyx解得：433,433y。例6、求函数2cos1sinxxy的值域。分析：此题我们采用万能公式换元后利用判别式法去处理。解：设tx2tan，则31221111222222ttttttty，整理得：0)31(2)1(2ytty当1y时符合题意；当1y时，0得0)31)(1(44yy，解得：340y且1y。2223,0y。六、含有xxxxcossin,cossin的函数最值问题基本思路：可令2,cossintxxt，将xxcossin转化为t的关系式，从而化归为二次函数的最值问题。例7、求函数)1)(cos1(sinxxy的值域。分析：由于上式展开后为：1cossincossinxxxxy恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令2,cossintxxt去求解。解：由)1)(cos1(sinxxy展开得：1cossincossinxxxxy，设2,cossintxxt，则21cossin2txx，此时：22)1(21212ttty2223,0y。七、含参数型的三角函数的最值问题基本思路：需要对参数进行讨论。例8、求函数bxaysin的最大值。分析：由于a的符号不确定，所以要对参数a的符号加以讨论。解：由于1sinx，所以1sin1x，当0a时，函数bxaysin0a的最大值为ba；当0a时，函数bxaysin0a的最大值为ba。