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小学数学教育2013.6本刊特稿BENKANTEGAO曹培英（上海市静安区教育学院）一、研究的背景回顾上世纪中叶以来数学教育改革的历程，先是美国受前苏联第一颗人造地球卫星发射成功的刺激，检讨科技落后的原因在于教育，从而数学首当其冲，掀起“新数运动”（即“数学教育现代化运动”），在整个60年代席卷全球。至70年代，新数运动暴露的一些问题，特别是数学教育质量下降，遭到大众的猛烈批评，于是又响起了“回归基础”的口号。到80年代提出“问题解决”，起初人们心存疑虑，会不会又是十年一个口号？然而，历史并未重演。自1980年4月，美国全国数学教师理事会（NCTM）在指导80年代学校数学教育的纲领性文件《行动的议事日程》中提出“把问题解决作为学校数学教育的核心”以来，问题解决牢固地确立了它在数学教育中的地位，相关的研究一直是国际数学教育界和教育心理学界的研究热点。尤其是对美国这样一个喜欢标新立异的国家来说，实在非常难得。为什么“问题解决”具有如此经久不衰的生命力？其内在的必然性与合理性何在？首先，源于社会发展的需要。人类社会的进步，科学技术突飞猛进的发展，要求基础教育确立从小培养学生创新意识的目标。重视问题解决的教与学，无疑是达成这一目标的有效途径。其次，数学观的演变影响了数学教育。数学绝对真理性的丧失与逻辑相容性的搁浅，也在促使数学教育不再唯一地强调数学知识技能的掌握目标，而更加关注数学思考与问题解决。再次，心理学的研究提供了理论支撑。20世纪初以来，心理学家对问题解决作了大量的研究。这些研究涉及问题解决的过程、影响因素、心理机制，以及问题解决的策略等方面，形成了一系列问题解决的理论。尤其是信息加工理论与现代认知心理学的相关研究给数学教育界带来了许多有益的启示，促进了实践研究的深入。正是在这样的背景下，问题解决的重要地位，得到了普遍的认同，并逐渐演化为世界性的数学教育改革的共同追求。美国自80年代以来历次数学教育改革的重要文件，都将问题解决摆在了突出的位置。2000年出版的《美国学校数学的原则与标准》，从标准总论到各年段标准，都将问题解决列为五个过程标准之首位。日本文部科学省于2008年3月公布了新的《小学数学学习指导要领》，内容方面将原来3～6年级的“数量关系”扩展为1～6年级，同时1～6年级都安排了“数学活动”，且纳入“问题解决”的视野。德国的数学教育标准，将“数学地解决问题的能力”列为六大数学能力之一。英国国家数学课程标准的学习目标，把“使用和应用数学方面”有关问题解决的目标列在最前，其后才是交流、推理。新加坡自1990年的小学数学教学大纲，首次将发展学生的问题解决能力作为核心目标至今，一直保持着这一特点。在新加坡的数学课程中，问题解决非常明确地处于中心地位（如图1）。在我国，教育部于2001年颁布的《基础教育课程改革纲要（试行）》明确提出培养学生的“分析问题和解决问题的能力”。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》把“数学思考”、“解决问题”和“知识与技能”、“情感与态度”一道，作为义务教育阶段数学的四大课程目标，将培养学生的“应用意识”，作为核心词之一予以强调，并专设“实践与综合应用”模块。进一步，《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心词，又加入了“创新意识”，并将我国数学教育优良传统“双基”、“两能”发展为“四基”（数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）、“四能”（发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力）。数学课程标准的这些发展性变化，既顺应了国际数学教育改革的趋势，又具有中国的特色，同时也为加强和改进问题解决的教学及其研究指示了方向。二、问题解决的内涵与外延1.问题解决的内涵。什么是问题解决，即问题解决的内涵，不同学者、不同文件给出了不同的解释。较有代表性的观点有以下几种。其一，问题解决是应用数学的过程。如美国数学指导委员会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中指出：“问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程。”其二，问题解决是一种能力。如英国的考克罗夫特（Cockcroft,W.H.）等人称：“那种把数学用于各种情况的能力，我们叫做问题解决。”其三，问题解决是数学学习的目的。美国学者西尔弗（Silver,E.A.）指出：“20世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决能力作为数学教学的主要目的之一。”其四，问题解决是一种教学模式。如英国的《考克罗夫特报告》中提到：“将‘问题解决’的活动形式看做教或学的类型。”上面四种解释的着眼点虽各有侧重，但其实质是一脉相通的，即问题解决是一种在应用数学的过程中形成的数学能力，这种数学能力是数学教学必须着重培养的数学素质之一，需要构建一种适当的教学活动模式来实现这一培养目标。图1数学问题解决元认知态度概念技能过程03小学数学教育2013.6本刊特稿BENKANTEGAO其五，问题解决是一种学习方式。事实上，问题解决本是学习心理学中早就有的一个重要概念。在美国心理学家加涅最初提出的学习等级分类中，问题解决为层次最高的一类学习，是指以独特的方式选择多组规则并加以综合运用的学习。用现代认知心理学的话语来讲，问题解决是一种基于主动探究的认知方式。按照建构主义的观点，这种学习、认知方式的优势在于能够有效地促进理解和知识的意义建构。从问题解决学习的心理活动来看，它是一种以问题为目标定向，以思考为内涵的探索活动。具体地说，是指学生面临新的问题情境，发现它与主客观需要有矛盾但又缺乏现成对策时所引起的探究处理问题方法的学习心理活动。有必要提出，本文之所以强调问题解决的心理学含义，是因为将问题解决视为一种高级形式的学习，其外延就要比“学习解题”（不管是什么样的题）广泛得多。2.问题解决的外延。按照上面陈述的前四种观点，侧重于数学的应用，通常根据应用的范围，将问题解决分为纯数学的问题解决与数学的现实问题解决两类。每一类还可以进一步细分为算术问题、代数问题、几何问题。按上述第五种观点，侧重于学习、认知的方式，则可以分为获取知识、应用知识的问题解决两大类。从小学数学教与学的实际来看，问题解决首先存在于获取数学知识的过程中，表现为凭借已有的知识、经验去完成新的学习课题；其次存在于应用数学知识的过程中，表现为将学过的数学知识、原理、技能迁移到新的问题情境中去。本文取后一种分类，即三、获取数学知识的问题解决1.学习课题的问题特征。问题解决作为高层次的学习，对学习课题所要解决的问题有一定的要求，即问题必须符合一定的特征。综合各家的研究，比较趋同的是以下三个特征：（1）是初次遇到的新问题；（2）是克服障碍的探究活动；（3）能生成新的知识。通常，小学数学课本中新的学习课题，以及首次出现的例题，大多符合以上特征。因此，小学数学新课教学无疑是问题解决的广阔天地。2.两个概念教学的案例。一般来说，将解决实际问题的教学过程归结为问题解决的过程，是十分自然的。教学计算法则，教学几何求积公式的推导，也能视为问题解决。除此之外，小学数学的概念教学，能否纳入问题解决的范畴呢？请看下面两例。［案例1］教学速度的概念（谁跑得快）。教学前，进行了两项学情调查，一是计算熟练情况的测试；二是不等式传递性、自反性直观理解的实验。结果是：一位数除三位数还需要列竖式笔算；不等式的传递性、自反性（如图2），直观理解没问题。一般学生都能看图作出正确判断：石榴最重，茄子最轻。于是，决定挖掘、增强该课题学习过程中的思维内涵。教学时，首先让学生看着情境图（图3的上半部分），说说已知的条件信息，并提出比较快慢的问题，一共有五个，即：（1）小象和小熊谁快？（2）小牛和小熊谁快？（3）小牛和小象谁快？（4）谁最快？（5）谁最慢？然后让学生先独立思考回答这五个问题，再进行交流：（1）小象和小熊用的时间相同，直接看路程比较，小象比小熊快。（2）小牛和小熊跑的路程相同，直接看时间比较，小牛比小熊快。（3）小牛和小象用的时间、跑的路程都不同，计算它们每分钟跑的路程再比较，因为小牛每分钟跑432÷6＝72（米），小象每分钟跑544÷8＝68（米），所以小牛比小象快。（4）综合（2）和（3），小牛比小熊快，小牛比小象快，得到小牛最快。（5）综合（1）和（2），小象比小熊快，小牛比小熊快，得到小熊最慢。至此，五个问题都有了答案。教师按预设教学方案，要求学生检查比较的结果。这时，有学生看着教师的如下板书：直接比较：计算比较：又发现了与众不同的比较方法：综合（3）和（1），小牛比小象快，小象比小熊快，得到小牛最快；反过来，就是小熊最慢。教师加以板书：由③和①：牛＞象＞熊，牛最快反过来：熊＜象＜牛，熊最慢教师顺水推舟，指出：用不同的方法解决同一问题，得到相同结果，也是一种比较常用的检验方法。接着，让学生看课本（图3），自学什么是速度。容易看出，上述以解决问题“谁跑得快”为载体的教学过程，不仅帮助学生初步建立了速度概念，还渗透了一系列的数学思想方法，如：学生由①和②得出熊最慢，由②和③得出牛最快，用到了“归纳”的方法；由③和①推出牛最快，实际上已经自发地用上了不等式的“传递性”，反过来推出熊最慢，还自发地用上了不等式的“自反性”。在这个过程中，学生获得了相当丰富的数学活动经验。更有意思的是，教师的小结又引发学生再次发现新的解法。原来，教师在强调比较快慢的一般方法“求速度”时，指出计算每分（每秒、每小时）的路程，是把“时间不同”转化为“时间相同”。个别学生受此启发，想到了另一种“转化”比较的方法：因为小象8分跑544米→2分跑136米，小牛6分跑432米→2分跑144米，所以小牛比小象快。真是欲罢不能，临近下课了，又一次获取数学知识的问题解决应用数学知识的问题解决问题解决数学问题解决现实问题解决{{图2谁跑得快你们太慢，我只用6分钟。我也用了8分钟。我刚好跑了8分钟。544m432m432m1.小象、小牛、小熊谁跑得最快？一样的路程，小牛比小熊用的时间短，小牛比小熊跑得快。一样的时间，小象比小熊跑得路程长，小象比小熊跑得快。怎么才能知道小象和小牛谁跑得快？可以比一比它们一分钟各自跑多少米。每分（每秒、每小时）行的路程就叫做速度。图3①象＞熊②牛＞熊③牛＞象{熊最慢{牛最快04小学数学教育2013.6本刊特稿BENKANTEGAO出现思维活动的高潮。问题解决式学习的优势可见一斑。［案例2］教学垂直与平行的概念（图4为教材）。首先复习直线概念，教师的设计非常巧妙。出示长方体的侧面，四个面上各写了一个字，展开成一个平面（如图5），四个字组成谜面“无始无终”，打一几何图形。由此引出直线及其特点“两端可以无限延长”。展开时还在黑板上板书“同一平面”，进而引入课题：今天研究同一平面上的两条直线。接着,出示操作要求：把纸看作平面，在纸上任意画两条直线，小组合作，相互看看、想想，会有哪几种情况？教师贴出学生画的各种情况（如图6）。让学生分类，并说明理由。起初学生分成三类、四类，但都把③和⑤归为一类，理由是它们都交叉了。教师说，两条直线“交叉”，数学上叫做“相交”，让学生指出分别在哪一点相交，引出“交点”。然后提醒学生，你们画的是什么（直线），直线有什么特点，把①、⑥、⑦中的直线延长看看，学生发现①相当于③，⑥和⑦与⑤相同。从而三类、四类都归为两类，由此引出同一平面上两条直线可以根据它们是否相交分成相交与平行两类。然后提问：（1）两条直线相交组成几个角？（4个）（2）相交成什么角时，这4个角相等？（直角）（3）怎样验证，需要量4个角吗？（只要量出1个角是90°，另外3个角都可以用180°90°求出）至此，完成板书（如图7）：上述概念建立过程，从画图到交流对话，到最终解决“有哪几种情况”这一问题，同样是一个问题解决的过程。因为学生面对的是“初次遇到的新问题”，他们通过“克服障碍的探究活动”，“生成了新知识”。在这个过程里，不仅有分类讨论，还有演绎推理（根据平角的概念，由量得1个角是直角，推出其他3个角是直角）。而后的练习，也有比较典型的问题解决。如，教师将双杠模型放在讲台上（如图8），让学生找一找，有几对互相平行的木棒。两条横杠互相平行是显