高考数学《基本不等式》专题复习教学案

基本不等式【知识梳理】一、基本不等式ab≤a＋b21．基本不等式成立的条件：a0，b0.2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二、几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)【基础自测】1．函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为________解析：∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号．答案：[2，＋∞)2．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为_______解析：∵m0，n0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．3．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为_______解析：选B由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．4．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：55．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝2x＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故2x＋5ymin＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【考点探究】考点一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x＜0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是_______[解](1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－4－x＋－x.∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15·(3x＋4y)·1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.【一题多变】本例(2)条件不变，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y，∴xy≥1225，当且仅当x＝3y时取等号．【由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．【以题试法】1．(1)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b2(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.考点二多元均值不等式问题【例2】设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．解析：由已知条件可得y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14xz＋9zx＋6≥142xz×9zx＋6＝3，当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.【以题试法】若,,0abc且()423aabcbc,求2abc的最小值.2,,0,2()()2()()22423232,,31.2232.abcabcabacabacaabacbcbcbcaabc解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为考点三基本不等式的实际应用【例3】(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解](1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．【由题悟法】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.【以题试法】2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t元，依题意，有8－t－251×0.2t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【巩固练习】1．函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值是_______解析：∵x1，∴x－10.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．2．设a0，b0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于_______解析：由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－a＋b2ab，而a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－a＋b2ab≤－4，因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.3.求函数2254xyx的值域.解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性.因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y.所以，所求函数的值域为5,2.4、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值.解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52.5.求函数23(32)(0)2yxxx的最大值解：30,3202xx∴，∴23(32)(0)(32)2yxxxxxx3(32)[]13xxx，当且仅当32xx即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是16.已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.解：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤3427.已知ab0,求a+)(1bab的最小值.8．已知函数f(x)＝x＋px－1(p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．解析：由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p＋1＝4，解得p＝94.9．已知x＞0，a为大于2x的常数，(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；(2)求y＝1a－2x－x的最小值．解：(1)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)≤12×2x＋a－2x22＝a28，当且仅当x＝a4时取等号，故函数的最大值为a28.(2)y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥212－a2＝2－a2.当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x的最小值为2－a2.10．正数x，y满足1x＋9y＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：(1)由1＝1x＋9y≥21x·9y得xy≥36，当且仅当1x＝9y，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)1x＋9y＝19＋2yx＋9xy≥19＋22yx·9xy＝19＋62