2019-2020年高三数学一轮复习讲义-等差数列及其前n项和-新人教A版

2019-2020年高三数学一轮复习讲义等差数列及其前n项和新人教A版自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__an＋1－an＝d__________(n∈N*，d为常数)．(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__A＝a＋b2________，其中A叫做a，b的___等差中项_______．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝_a1＋(n－1)d_______，an＝am＋_(n－m)d_______(m，n∈N*)．(2)前n项和公式：Sn＝_na1＋n(n－1)2d_________＝__(a1＋an)n2__________.3．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.4．等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有__am＋an＝ap＋aq________，特别地，当m＋n＝2p时，___am＋an＝2ap___________.(2)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为__2d______(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为__md____的等差数列.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为__递增数列__________；若d0，则数列为____递减数列______；若d＝0，则数列为___常数列_____．(6)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(7)S2n－1＝(2n－1)an.(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝n2d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最______值；若a10，d0，则Sn存在最______值.大小6．方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解.自我检测1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为()A．130B．260C．156D．1682．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()A．1B.53C．2D．33设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于()A．1B．－1C．2D.124．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．155．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.246.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝__24______.7.有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{an}的通项公式an＝___.12n－10_______.8.已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则a2－a1b2－b1的值为____34___.9．数列{an}是等差数列，若a11a10＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝()．A．11B．17C．19D．21解析由题意，可知数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为a11a10＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.题型一等差数列的基本量的计算例1等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n.解(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.所以an＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋n(n－1)2d，Sn＝242.得12n＋n(n－1)2×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围.解(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－22或d≥22.方法二∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.解由题意，知S10＝10a1＋10×92d＝110，(a1＋d)2＝a1·(a1＋3d)，即2a1＋9d＝22，a1d＝d2.∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值.解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋－2n2＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.题型二等差数列的判定或证明例2已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(1)证明∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.∴n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7，设函数f(x)＝1＋22x－7，易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数.∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.探究提高1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an＋1－an＝d；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.就本例而言，所用方法为定义法.2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．变式训练2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝Sn－12Sn－1＋1(n≥2)，a1＝2.①求证：1Sn是等差数列；②求an的表达式.①证明由Sn＝Sn－12Sn－1＋1，得1Sn＝2Sn－1＋1Sn－1＝1Sn－1＋2，∴1Sn－1Sn－1＝2，∴1Sn是以1S1即12为首项，以2为公差的等差数列.②解由知1Sn＝12＋(n－1)×2＝2n－32，∴Sn＝12n－32，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－32－12n－72＝－22n－322n－72；当n＝1时，a1＝2不适合an，故an＝2n＝－22n－322n－72n(2)已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．①求a2，a3的值．②是否存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说解①∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.②假设存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列．设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.∴2×a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n＝12n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝12n＋1[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{an＋λ2n}为首项为2、公差为1的等差数列．题型三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．解方法一设此等差数列为{an}共n项，依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②根据等差数列性质，得a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.将①②两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝36.由Sn＝n(a1＋an)2＝36n2＝360，得n＝20.所以该等差数列有20项．方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋5×42d＝34，①Sn－Sn－5＝[n(n－1)d2＋na1]－[(n－5)a1＋(n－5)(n－6)2d]＝5a1＋(5n－15)d＝146.②①②两式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180，∴a1＋n－12d＝18，代入Sn＝na1＋n(n－1)2d＝na1＋n－12d＝360，得18n＝360，∴n＝20.所以该数列的项数为20项．变式训练3已知数列{an}是等差数列．(1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解(1)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54.(2)设项数为2n－1(n∈N*)，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则S奇＝(a1＋a2n－1)·n2＝n·an＝44，S偶＝(a2＋a2n－2)·(n－1)2＝(n－1)·an＝3