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1 5D mD–Euclidian l †¡ – D 5 m ;.~f.• –ln ¡5 )†¡ Œ˘( £1⁄8 ( :†¡ :8·kS ¢Œ|§x=(x1,x2)∈R2.£2⁄ ( :Øux=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2d(x,y)={|x1−y1|2+|x2−y2|2},dd / C0!4 !m8 Vg.£3⁄ Œ( :3†¡ ‰´ \{ Œƒx+y=(x1+y1,x2+y2),Øu? ¢Œα,αx=(αx1,αy1).• ªrø 5 /a’ 0 2 • ˜ Œ˘X ¥. • 38 D– l,‰´ m8!48§ m ( .ø • 3Œ˘X Œ( ) 5 m£k ¡ m⁄ § ? ! lø Vg§ƒ 8 k Œ( ( §/⁄• ¡ D 5 m. G 5 m º N„1.§2.1D m ˜ Vg2.1.1D m Banach m ‰´ x=(x1,x2)·¢ Euclidean†¡R2 :§ P kxk£‰P |x|, §• 3ø P kxk⁄.kxk=(x21+x22)1/2,=kxk=d(x,0).? 3Rn¥§ –‰´kxk=d(x,0) ¥d(x,0)·Rn¥:x : l,ˇ~¡ / ”,‰ ¡ / ”.Øu?¿ x,y∈Rn,k(1)kxk=d(x,0)≥0;(2)kx+yk=d(x+y,0)≤d(x,0)+d(y,0)=kxk+kyk;(3)kαxk=d(αx,0)=|α|d(x,0)=|α|kxk.e¡• rø Vg 2 5 m, :‰ ‰´.55·56·1 5D m‰´2.1.1X·Œ K 5 m,…Œk·k:X→R v:i)∀x∈X,kxk≥0£ K⁄;ii)kxk=0 = x=0( ‰);iii)∀x∈X,α∈K,kαxk=|α|kxk( g);iv)∀x,y∈X,kx+yk≤kxk+kyk(n “).K¡k·k·X Œ.‰´ Œ 5 m¡ D 5 m,P (X,k·k)‰{P X.k Œ –g,/‰´ ld(x,y)=kx−yk.(2.1.1)fl¢ ,d‰´6.2.5 o ^ § – yØu∀x,y∈Xk(1)d(x,y)=kx−yk≥0;(2)d(x,y)=kx−yk=0 = x=y;(3)d(y,x)=ky−xk=|−1|kx−yk=kx−yk=d(x,y);(4)d(x,y)=kx−yk≤kx−zk+kz−yk=d(x,z)+d(z,y),=d(x,y)· l.(X,d)¡ d Œp l m.5u·D m ‰· l m. mk l –‰´m8,48,–9 5 Vg.´æ(4 ) – \.d(xn,x)→0=kxn−xk→0(n→∞).‰´2.1.2 xn·D mX¥ : ,x∈X,XJkxn−xk→0(n→∞),K¡xnU Œ´æ x,P limn→∞xn=x.k l ´æ5§• ? …' ¥ '› Vg)Banach m ‰´2.1.3 D m¡ Banach m.5duD m · l m§Banach m· l m§ˇd k l m ⁄k5 §~X31 1˚!¥ eZ5 §øp 2 .2.1.2 Œ ºY5‰n2.1.4 (X,k·k)·D m,K(1)Øu? x,y∈X,k:|kyk−kxk|≤ky−xk.(2) Œk·k· ºY…Œ.=:xn→x(n→∞),kkxnk→kxk(n→∞).(3) Œk·kØ 5$ ·ºY .=xn→x,yn→y(n→∞) ,kxn+yn→x+y:αn→α,xn→x ,kαnxn→αx.§2.1D m ˜ Vg·57·y†(1)dn “kyk≤ky−xk+kxk,kxk≤kx−yk+kyk=ky−xk+kyk,• k|kyk−kxk|≤ky−xk.(2)d(1)• k:|kxnk−kxk|≤kxn−xk.u·dxn→x, kxnk→kxk(n→∞).(2)dukxn+yn−x−yk≤kxn−xk+kyn−yk,–9kαnxn−αxk≤kαnxn−αx+αnx−αxk≤|αnkxn−xk+kxk|αn−α|,d(1) ( ,( |αn|k., – (2)⁄Æ.2.1.3 Œ l ’XD m ‰· l m§ l m· · ‰·D m”• e¡ ‰n ‰n2.1.5 X· D m§d·d Œp 5 l§Øu? x,y,z∈X,α∈K, kd(x,y)=d(x+z,y+z);(2.1.2)d(αx,αy)=|α|d(x,y).(2.1.3)y†( k–e “ .d(x+z,y+z)=k(x+z)−(y+z)k=kx−yk=d(x,y);d(αx,αy)=kαx−αyk=|α|d(x,y)5– ^ · Œp lI v 7 ^ .2.1.2“ N Œp l3/fN$˜0– l C§2.1.3 N ø« l ,«/ g05 .e¡ ~‘† ·⁄k l ·d Œ ) .~2.1.6 ms( ~1.1.17).= N¢Œ |⁄ 8 ‰´ –e ld(x,y)=∞Xk=112k|ξk−ηk|1+|ξk−ηk|. ¥ x={ξk},y={ηk}.s· l m§w,d(αx,0)6=|α|d(x,0)§ α6=0§§ v2.1.3“, ·‘~1.1.17 ms¥ l ·d? Œp 5 .·58·1 5D m2.1.4D m z~2.1.7C[a,b].4«m[a,b] ºY…Œ N,Ø\{,Œƒ 4.‰´:kxk=maxa≤t≤b|x(t)|. – yC[a,b]· D m,3 Œ ) ld(x,y)=maxa≤t≤b|x(t)−y(t)|(2.1.4)e,§· , ' .aq/ – ˜C(Ω), ¥Ω⊂Rn,· ; 48.~2.1.8 XL«[a,b] NºY…Œ,3X –‰´kxk1=Zba|x(t)|dt.(2.1.5)¨' 55 Ø n “, –y†k·k1· Œ( v ‰! g n “), 3§p ld(x,y)=kx−yk=Zba|x(t)−y(t)|dt(2.1.6)e · .5D m(X,k·k) U· , ~¥d§ ) l ·~1.4.12¥ l§3~1.4.12¥• y† ø l m· .‰n2.1.9D m – zy†Øu D mX, l m –r§ z§⁄ eX. ex,ey∈eX,ex={xn},ey={yn}·X¥ Cauchy ,3eX¥‰´ 5$ Œex+ey=xn+yn,αex=αxn,(2.1.7)kexk=limn→∞kxnk,(2.1.8)KeX·Banach m,¿ X eX ¨ f8 . ·‘,D mX – z.5 ~¥(X,k·k) ·Banach m,u·§ – z.fl¢ , – m⁄ (eX,k·k1)={ N3[a,b] Ø ¨ …Œ}={x(t)|Zba|x(t)|dt∞}(2.1.9) –w m¥ ’C[a,b]¥ O\ §ƒ ⁄k Cauchy ´æ.§2.2D m ~·59·§2.2D m ~1 !¥,• ˇL3 5 m¥ \ Œ,‰´ D m, 5 m¥ / 0 ‰´. Æ m ( .du Œ –p l,l D m · l m,1 ? k’ l m Vg!5 (X 5§ '5!;5 ) –3D m¥\–? .D m· a› m,øa m3 …' n 9 A^¥ · '› .ø !¥,• ›:0 ~^ D m.2.2.1ºY…Œ m~2.2.1C[a,b].4«m[a,b] ºY…Œ N§Ø\{!Œƒ 4§· 5 m.3C[a,b] ‰´ Œ:kxk=maxa≤t≤b|x(t)|.KC[a,b]· ' D m.ød~1.1.5!~1.3.19!~1.4.9 ( .2.2.2Lp m3ø !• ? a~^ D …Œ mLp[a,b](p≥1),=Lp[a,b]={x(t)|Zba|x(t)|pdt∞}.(2.2.1) / – ˜Lp(E)(p≥1), ¥E⊂Rn· 8.3Lp[a,b]¥,• \ Œ:kxk=(Zba|x(t)|pdt)1/p.(2.2.2) yk·k·Lp[a,b] Œ,• I y–e4^(i)kxk≥0,(ii)kxk = x(t)=0(pp.)(iii)kαxk=|α|kxk,=(Rba|αx(t)|pdt)1/p=|α|(Rba|x(t)|pdt)1/p.(iv)kx+yk≤kxk+kyk,=(Zba|x(t)+y(t)|pdt)1/p≤(Zba|x(t)|pdt)1/p+(Zba|y(t)|pdt)1/p.(i)!(ii)!(iii)·w, , y†(iv),• I H¨older “ Minkowski “.·60·1 5D m n2.2.2p,q· Œ, 1p+1q=1( Œ),KØu∀a,b|ab|≤|a|pp+|b|qq.(2.2.3)y† b=0 “w,⁄Æ. b6=0 § ˜…Œφ(t)=t1p−1pt, t=1 ,φ(t) φ(1)=1−1p=1q,^t=|a|p|b|q \ y. n2.2.3(H¨older “) E·Lebesgue 8,x(t),y(t)·E …Œ, 1p+1q=1,KZE|x(t)y(t)|dt≤(ZE|x(t)|pdt)1/p(ZE|y(t)|qdt)1/q.(2.2.4)5 n=2 , “⁄ :ZE|x(t)y(t)|dt≤(ZE|x(t)|2dt)1/2(ZE|y(t)|2dt)1/2.(2.2.5)y†-A=(RE|x(t)|pdt)1/p,B=(RE|y(t)|qdt)1/q.XJA,B¥k 0‰ˆ¡, “(2.2.4)w,⁄Æ. 0A∞,0B∞.Øuz t∈E,d “(2.2.3),|x(t)y(t)|AB≤1p x(t)A p+1q y(t)B q. “ ¨' 1ABZE|x(t)y(t)|dt≤A−ppZE|x(t)|pdt+B−qqZE|y(t)|qdt.=1p+1q=1.⁄–ZE|x(t)y(t)|dt≤AB=(ZE|x(t)|pdt)1/p·(ZE|y(t)|qdt)1/q. n2.2.4(Minkowski “) E·Lebesgue 8,x(t),y(t) ,p≥1,K(ZE|x(t)+y(t)|pdt)1/p≤(ZE|x(t)|pdt)1/p+(ZE|x(t)|pdt)1/p.(2.2.6)§2.2D m ~·61·y†ZE|x(t)+y(t)|pdt=ZE|x(t)+y(t)|p−1·|x(t)+y(t)|dt≤ZE|x(t)||x(t)+y(t)|p−1+ZE|y(t)||x(t)+y(t)|p−1dt≤(ZE|x(t)|pdt)1/p(ZE|x(t)+y(t)|q(p−1)dt)1/q+(ZE|y(t)|pdt)1/p(ZE|x(t)+y(t)|q(p−1)dt)1/q.∵1p+1q=1,∴q(p−1)=p.u·ZE|x(t)+y(t)|pdt≤(ZE|x(t)+y(t)|pdt)1/q(ZE|x(t)|pdt)1/p+ZE|y(t)|pdt)1/p),=(ZE|x(t)+y(t)|pdt)1/p≤(ZE|x(t)|pdt)1/p+(ZE|x(t)|pdt)1/p.u·(2.2.2)“‰´ Lp[a,b] Œ, /,ØuLp(E)={x(t)|ZE|x(t)|pdt∞},(2.2.7)‰´kxk=(ZE|x(t)|p)1/