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求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用分类号—————————————————————————————————密级UDC本科毕业论文求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用学生姓名学号指导教师院、系、中心数学科学学院专业年级信息与计算科学2010级论文答辩日期2014年6月5日中国海洋大学求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用完成日期：指导教师签字：答辩小组成员签字：求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用摘要对于带非零源项的浅水波方程，要获得高阶稳定的数值解来是一项研究难点，在本文中应用5阶WENO-Z[12]和5阶WENO-JS[11]两种有限差分格式对该类方程进行了数值模拟，并作对比分析．本文应用了这两种WENO有限差分格式求解了一系列浅水波方程求解的数值算例．前两个数值算例证实了这两种格式求得的数值解达到高阶误差精度且保持守恒性．在求解受微小扰动的影响的稳态水算例中，对比两种WENO格式的数值解在不同分辨率下受波动的程度，可以说明WENO-Z格式比WENO-JS格式更能适应微小扰动，故在求解受扰动的稳态水数值算例中仅观察WENO-Z格式的情况．为了比较两种WENO格式处理间断问题基本无震荡的优势，进行了一维溃坝模拟，实验表明在高分辨率下两种WENO有限差分格式都能基本无震荡的处理间断问题，但WENO-Z格式较WENO-JS格式表现出更好的性能．本文在最后设计了一个二维潮汐模拟的理想实验，应用5阶WENO-Z有限差分格式求解简化后的潮汐模型，并取得了较为不错的数值结果．关键词：浅水波方程；非零源项；5阶WENO-Z格式；5阶WENO-JS格式求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用SolvingshallowwaterequationsWENOfinitedifferenceschemeanditsapplicationAbstractConsideringtheshallowwaterequationswithnonzerosourceterm,itisachallengetodesignanumericialschemetopreserveahighorderandsteadysolutions.ThispaperinvestigatesbothfifthorderWENO-Z[12]andWENO-JS[11]differenceschemetoslovethissystemandmakeacontrastiveanalysis.ThispaperapplystwofifthorderWENOschemetoproceedagroupofnumericialcasesfortheshallowwaterequtions.ThetwoforwardonedimensionalresultverifyhighorderaccuracyandtheC-propertyoftheWENOdifferencescheme.Theninthetestcaseoftheonedimensionalsteady-statewaterwithasmallpertubation,paperapplysbothtwoWENOschemetosimulateindifferentresolution.TheresultsindicatethatWENO-ZschemeperformsbetterthanWENO-JSschemeaftercomparingtwoWENOschemes’numericialresults,sopaperjustapplysWENO-Zschemetosimulatethetestcaseofthetwodimensionalsteady-statewater.InordertocomparethetwoWENOscheme’essentiallynon-oscillatioryproperty,papersolvesaonedimensionaldam-breakingprobleminvolvesarapidlyvaryingflowoveradiscontinuousbottomtopography.Comparingthetwoschemes’resultsindifferentresolution,itindicatesthatWENO-ZschemeperformsbetterthanWENO-JSschemeasbeforewhensolvingthediscontinuousproblem.Inthelastsectionofthispaper,itdesignsanumericialexperimentforthesimplifiedtwodimensionaltidalflowmodel．TheWENO-Zschemeperformswellinthesimulationsincetheresultistruthful.Keywords:Shallowwaterequations;Nonflatsourceterm;FifthorderWENO-Zscheme;FifthorderWENO-JSscheme求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用目录1引言..........................................................................................................................11.1浅水波方程的数值方法发展概述.................................................................11.2浅水波方程简介.............................................................................................22浅水波方程的WENO有限差分格式................................................................52.1WENO有限差分格式的构造原理....................................................................52.2详述5阶WENO有限差分格式构造过程.......................................................72.3应用5阶WENO有限差分格式和3阶龙格-库塔方法求解浅水波方程.....92.3.1空间离散............................................................................................102.3.2时间离散............................................................................................143数值实验...............................................................................................................143.15阶WENO有限差分格式误差精度测试......................................................143.2一维浅水波方程求解...................................................................................153.2.1数值解的守恒性测试........................................................................153.2.2捕捉稳态水中出现的微小扰动........................................................173.2.3一维溃坝模拟....................................................................................193.3二维浅水波方程求解...................................................................................213.3.1捕捉稳态水中出现的微小扰动........................................................213.3.2二维潮汐模拟....................................................................................234总结与展望..........................................................................................................25参考文献...................................................................................................................26致谢.............................................................................................................................27求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用1引言我们把水深相对于水平尺度来说非常小的水流形式成为浅水，而浅水波方程是各种各样浅水运动的简化所得的数学表达，是流体力学领域中的一个重要模型．随着计算数学和计算机领域的快速发展，浅水流动现象的模拟被广泛应用到河道、河口、海岸及近海地区的计算当中，进而研究和解决许多人们关心的问题，如洪水预报、潮汐模拟、溃坝决堤、污染物传播、近海风暴潮等．近年来国家对海洋灾害预防、海洋开发等方面尤为重视，学者们越来越重视求解浅水波方程的数值方法研究，如今计算数学和计算流体力学现已成为国内外的热门研究对象．浅水波方程本质上属于非线性双曲型方程，但考虑到实际情况下不规则的水流边界和非线性的流动等原因，我们仅在某些特殊情况可以求得方程的理论解，绝大多数时候只能通过数值解来近似．而在求解浅水波方程的数值方法发展过程中，研究者们不断提高方法的误差精度、分辨率以及稳定性，并在一、二维浅水波方程问题上取得了一些不错的成果．鉴于浅水波方程属于非线性问题且理论解会出现间断的情况，因而要在光滑区域和间断附近都能得到具有高精度且稳定的数值解成为了浅水波方程问题求解的研究难点，也即意味着浅水波方程的高精度数值模拟方法有着重大的研究意义．1.1浅水波方程的数值方法发展概述河道、河口、海岸及环境等工程领域普遍存在浅水流动现象，在过去的30多年时间里，浅水波方程的数值模拟研究受到了广泛重视．至今也取得了较大的发展，已有许多成功模拟浅水波方程问题数值方法，包括有限差分法、有限体积求解浅水波方程的WENO有限差分格式及其应用法、有限元法等．其中有限差分方法和有限体积法发展至今较为成熟，在浅水波方程数值模拟中得到较为广泛的应用．如Harten[1]针对双曲守恒型方程提出高分辨率的二阶TVD格式，该格式能够使数值解的单