图形折叠问题的探究

图形折叠问题的探究已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）AF＝23.求DE的长.（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.（2012•南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．变式：已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△CPB′沿CP′翻折得到△CPE′，连接CF′，取CF′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．例4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则EF的长为如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为cm．（2008•荆门）如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．例6.如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2B．4C．8D．10考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．如图，矩形纸片ABCD中，AB=18cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，则AD的长为（）考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质分析：根据折叠前后角相等可证AF=FC，在直角三角形ADF中，运用勾股定理求解解答：解：根据折叠前后角相等可知△ADF≌△CEF，设DA=x，又AF=13，DF=18-13=5，在直角三角形ADF中，x2+52=132，解之得，x=12cm．故选D点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．求线段与面积间的变化关系例5已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，?B和?C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A1，ΔA1MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？（2010•荆门）将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．（2012•衢州）课本中，把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对折，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…四．折叠后得图形例9.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形例10.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？例11.如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（）例12.如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）A.1B.2C.3D.五．折叠后得结论六．折叠和剪切的应用例15.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？七．以折叠为背景的存在性问题例16.已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标八．以折叠为背景的探索题例17.已知：矩形纸片ABCD中，AB＝26cm，BC＝18.5cm，点E在AD上，且AE＝6cm，点P是AB边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图（1）所示）；步骤二，过点P作PT⊥AB交MN所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”号）（2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（，）；②当PA＝6cm时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（，）；③当PA＝12cm时，在图（3）中画出MN，PT（不要求写画法）并求出MN与PT的交点Q3的坐标；（3）点P在在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1，Q2，Q3…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式解：Ⅰ、过点N作NR⊥AB，垂足为R，连接BB′交MN于点Q．则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，∴MQ⊥BB′．在△RNM和△ABB′中，∠A=∠MRN=90°，∠ABB′+∠BMQ=∠RNM+∠BMN=90°∴∠ABB′=∠RNM，又∵RN=AB=1，∴△RNM≌△ABB′，∴BB′=MN．Ⅱ、由Ⅰ可知△MQB∽△B′AB，∵MQBA=BQAB=MBBB，∵AB′=x，则BB′=21x，BQ=2121x，代入上式得：BM=21(x2+1)．Ⅲ、由Ⅱ得：BM=21(x2+1)．CN=BR=BM-MR=21(x2+1)-x=21(x-1)2．∵MB′∥NC′，∴四边形MNC′B′是梯形，∴S=21〔21(x-1)2+21(x2+1)〕×1=21(x2-x+1)．由S=21(x2-x+1)=21(x-21)2+83，故当x=21时，即B落在AD的中点处时，梯形面积最小，其最小值为83．