瓜豆原理(与相似无关)

瓜豆原理（与相似无关）编者的话：瓜豆原理其实是网络用语，是一类网红题．其数学实质是主从联动，从动点随着主动点的变化而变化，符合种瓜得瓜种豆得豆一说，即俗称瓜豆．涉及到动点，则必备的知识应有旋转．一、典型例题例1．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F是边AB上的一动点，以EF为边向右作等边△EFG，连接CG，则F点从B运动到A的过程中，G点运动的路径长为．CG的最小值为．解：第一步：判断．点E为定点，F点为主动点，G为从动点．第二步：画路径．局部变化：EF绕点E顺时针旋转60°得到EG；F点在线段AB上运动，则整体变化：AB上所有点都绕点E顺时针旋转60°即为点G点路径，相当于将△ABE绕点E顺时针旋转60°得到△A1B1E．（实际作图：两点确定一条线，点A，B分别绕点E顺时针旋转60°得到A1，B1，连接即可），与线段AB的形式保持一致，即为瓜豆原理．（注意：只要满足1定点1主动1从动即满足瓜豆，无定点不瓜豆！）第三步：计算．C为定点，G的路径为线段A1B1，则垂线段最短，即求CG1．由上分析可知∠B=∠B1=90°，∠BEB1=60°，BE=B1E=2；过C作CG1⊥A1B1，则CG1//EB1，所以∠G1CB=∠BEB1=60°；过E作EH⊥CG1，则四边形EHG1B1为矩形，G1H=B1E=2；在Rt△ECH中，CE=2，∠GCB=60°，所以CH=1，即CG1=3．【答案】：43例2．如图，AD是边长为4的等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60°得到FC，连接DF．则DF的最小值是．解：第一步：判断．C为定点，E为主动点，F为从动点，满足瓜豆原理．第二步：画路径．局部变化：CE绕点C逆时针旋转60°得到CF；点F在AD上运动，则整体上变化：线段AD上所有的点都绕点C逆时针旋转60°即为F点路径，相当于将△ACD绕点C逆时针旋转60°，对应A’D’即为F点的路径．（实际作图：两点确定一条线，点A，D分别绕点C逆时针旋转60°得到A’，D’连接即可作出路径．）第三步：计算．D为定点，F路径为线，则垂线段最短求DF1．△ACD≌△A’CD’，∠CAD=∠CA’D’=30°，则DF1=１２BD=1【答案】：1例3．如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O运动，连接MB，以MB为腰作等腰直角三角形MBC，M，B，C，按逆时针顺序排列．连接AC，则AC长的取值范围是．解：第一步：判断．B为定点，M为主动点，C为从动点，满足瓜豆原理．第二步：画路径．局部变化：BM绕点B顺时针旋转90°得到BC；点M在⊙O上运动，则整体上变化：⊙O上所有的点都绕点B顺时针旋转90°即为C点路径．则只要找出圆心的位置即可．相当于将△OBM绕点B顺时针旋转90°，对应O’为圆心，O’C为半径，作圆即为C点的路径．（实际作图：确定一个圆需要圆心与半径，C点已经存在，则只需圆心即可．将OB绕点B顺时针旋转90°得到O’B，连接O’C为半径作圆即可作出C点路径）.第三步：计算．A为定点，C点路径为圆，则点圆位置关系过圆心求最值．在Rt△ABO’中，AB=4，O’B=3，则AO’=5，O’C=1，则AC1=4，AC2=6．【答案】：4≤AC≤6例4．如图，点A是双曲线4yx在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．解：利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB．△ABC为等腰直角三角形，O为AB中点，CO⊥AB，CO=AO．即△AOC为等腰直角三角形．第一步：判断．O为定点，A为主动点，C为从动点，满足瓜豆原理．第二步：画路径．局部变化：OA绕点O逆时针旋转90°得到OC；点A在双曲上运动，则整体上变化：双曲线上所有的点都绕点O逆时针旋转90°即为C点路径．则只要表示出C的坐标即可．第三步：计算．构一线三垂直得△AOD≌△OCE，得AD=OE，OD=CE．设A4,aa，则C4,aa，则点C的轨迹为4yx．【答案】：4yx二、巩固练习1．如图，AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为边向左作等边△BDE，则点D从A运动到C的过程中，则E点的运动路径长为．【答案】：22提示：路径长即为AC的长．2．如图，在Rt△ABC中，B=90°，AB=4，BCAB，点D在BC边上．在以AC为对角线的ADCE中，DE长的最小值是．【答案】：4提示：当DE垂直于BC的时候最小．3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=2，D是BC边上的一动点，将AD绕点A顺时针旋转45°，得AE，连CE，则线段CE的最小值为（）A．12B．22C．21D．22第2题图OCBAED【答案】：D提示：12222222CBCECE．4．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，E为BC的中点，F是边AB上的一动点，以EF为边向右作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】：3提示：1332CACGCI．5．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为AB上的点且AE=1，F是边AD上的一动点，以EF为边向右作等边△EFG，连接BG，则BG的最小值为．【答案】：2.5提示：与例1的方法相同．6．如图，△ABC是等边三角形，BA=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是．【答案】：31提示：如图．7．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°，AB=AC=2，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为．【答案】：22提示：12222OCOEOF．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，点M为斜边AB的中点．已知点P在射线AC上运动，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转90°，得到BP’，连接P’M，则P’M长度的最小值是．【答案】：1提示：点A绕点B逆时针旋转90°得点A’连A’P’延长即为P’的运动路径．其中△BCA≌△BVA’，△MBD∽△BAC9．线段AB=4，点P是以AB中点为圆心，1为半径的圆上任意一点，以PB为边作等边三角形PBC，连接AC，则AC的取值范围是．【答案】：231231AC提示:将圆心O绕点B顺时针旋转60°得点O’，以O’为圆心O’C为半径作圆即为C的运动路径．转化为点圆位置关系．''''AOOCACAOOC．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，3），P点是以点A为圆心，半径为2的圆上任意动点，以OP为直角边作等腰直角三角形OPQ，且Q点在第二象限内，则AQ的取值范围为．【答案】：262262AQ提示:将圆心A绕点O逆时针旋转90°得点A’，以A’为圆心A’Q为半径作圆即为Q的运动路径．转化为点圆位置关系．''''AAAQAQAAAQ．11．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上的一点，且∠CAD=45°，E是AD上一动点，以CE为边作等边△CEF，使A，F分别在CE的两侧，则DF的最小值为．【答案】：6236提示：要求出DF1只需要求得BD的长，过D作DG⊥GD，则有∠BGD=30°∴∠GAD=∠GDA=15°,∴GA=GD．∴236xx即1263x．∴1126362362DF．12．如图，PA=3，PB=33，以AB为边作正方形，使得P，C两点落在直线AB的同侧，则PC的最小值为．【答案】：363提示：PB不动，则A点的路径是以P为圆心PA为半径的圆，A到C是以B为圆心逆时针旋转90°得到，则将P绕点B逆时针旋转90°得到P即为C点路径．则363.PCPPPC