直角三角形经典例题整理

基础训练：1、选择题：（1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都错（2）如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形（3）△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（）A、56B、512C、5D、不能确定（4）如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，在AB上截取AE=AC，BD=BC，则∠DCE等于（）A、45°B、60°C、50°D、65°3、求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数。4、给你一副三角板，你能用它拼出几个度数不同的角？请把它们都写出来。拓展思考：阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成长方形，使△ABC的两个顶点为长方形一边的两个端点，第三个顶点落在长方形这一边的对边上。请你画出符合要求的长方形。解答问题：（1）请你画出符合要求的长方形。（2）设所画的长方形的面积分别为S1，S2，则S1S2（填“＞”、“＝”或“＜”）（3）如图2，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出个，利用图2把它画出来。（4）如图3，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出个，利用图3把它画出来。（5）在（2）中所画出的长方形中，哪一个的周长最小？为什么？基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形的底角为15度，腰长为2a，则三角形的面积为。ABC图1ABC备用图ABC图3ABCDEABC图2（2）已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC=。2、选择题：（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，则AD等于（）A、4BDB、3BDC、2BDD、BD（2）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°或30°（3）如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、43、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长。4、如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=Rt∠，E是BC边上的中线。请你说明CE=DE的理由。5、已知：如图，BD，CE交于O，OA平分∠BOC，△ABD的面积和△ACE的面积相等。请你说明BD=CE的理由。拓展思考：用旋转法解题同学们已经学过了旋转变换，想必不会陌生。这里讲讲用旋转法解题的思想方法，它的具体步骤是：先把一个图形（或它的一部分）绕着一个定点旋转一个适当的角度；然后把所得的图形与原图形联系，找出解题途径，使问题得到解决。下面两道题请你试试，看能不能用上述方法加以解决。1、如图，长方形ABCD中，已知AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，试说明DE=2242baab。ABCDEABCDABCDEFABCDEOABCDEABCDEM2、如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AG⊥EF于G，请说明AG=AB。3、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，P是三角形内一点，且∠APB=∠APC，试说明PC＞PB的理由。基础训练：1、填空题：（1）如图1，已知AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是△和△。（2）如图2，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或或或。（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=度。（4）如图4，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是。2、选择题：（1）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A、一条直角边和一个锐角分别相等B、两条直角边对应相等C、斜边和一条直角边对应相等D、斜边和一个锐角对应相等（2）下列说法中，错误的是（）A、三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用B、已知两个锐角不能确定一个直角三角形C、已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形D、已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点O，请说明OB=OC的理由。4、如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC。请你说明∠DEC=90°的理由。ABCDEFGABCPABCDO图1ABCDE图2ABCDEH图3ABCEFP图4ABCDEOABCDE125、如图，AD=BC，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=BF。请你说明（1）∠DAE=∠BCF；（2）AB∥CD成立的理由。拓展思考：如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD。请回答下列问题：（1）BD平分EF；（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。火眼金睛：以下是小聪同学所做的一道题，题目是这样的：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。”请问他的解法对吗？已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=21AB，请说明∠BAC=30°。解：作△ABC关于直线AC的对称△AB′C，则有∴AB′=AB，B′C=BC∵BC=21AB，∴AB′=AB=BB′∴△ABC是等边三角形，∠BAB′=60°∵∠C=90°，∴∠BAC=30°【典型例题】例1已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，BD210，求其斜边AB的长。ABCB′ABCDEFABCDEFGABCDEFGAGDBEC例2如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2E=A。ADFEBC例3Rt△ABC中，AB=AC，A=90°，点D在BC上，DFABFDEACE于，于；M为BC中点，请判断EF的形状，并说明你的理由。AEFBDMC【综合测试】一.填空题1.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。2.已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。3.已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。4.△ABC中，∠C＝90°，AB＝c,BC＝a,AC＝b,c＝34,a∶b＝8∶15,则a＝。二.选择题5等腰三角形的腰长为32，底角等于30°，那么底边长为（）A.3B.33C.63D.66如图，BE、CD分别是△ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则△DEM是（）A.不等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形三.解答题7用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为3cm。8某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,求AD、BC的长。