江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三数学第二次调研考试(4月)试题(满分160分,考试时间120分钟)2020.4参考公式:柱体的体积公式:V柱体=Sh,其中S为柱体的底面积,h为高.锥体的体积公式:V锥体=13Sh,其中S为锥体的底面积,h为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,4},B={a-5,7}.若A∩B={4},则实数a的值是________.2.若复数z满足zi=2+i,其中i是虚数单位,则z的模是________.(第4题)3.在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位:吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8,则该农作物的年平均产量是________吨.4.如图是一个算法流程图,则输出S的值是________.5.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头,甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是________.6.在△ABC中,已知B=2A,AC=3BC,则A的值是________.7.在等差数列{an}(n∈N*)中,若a1=a2+a4,a8=-3,则a20的值是________.(第8题)8.如图,在体积为V的圆柱O1O2中,以线段O1O2上的点O为顶点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1,V2,则V1+V2V的值是________.9.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若△APQ为直角三角形,则该双曲线的离心率是________.10.在平面直角坐标系xOy中,点P在直线y=2x上,过点P作圆C:(x-4)2+y2=8的一条切线,切点为T.若PT=PO,则PC的长是________.11.若x>1,则2x+9x+1+1x-1的最小值是________.12.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=ex在点P(x0,ex0)处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点B(x0,0),△PAB的面积为3,则x0的值是________.13.如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则A6A7→·A7A8→的值是________.14.设函数f(x)=|log2x-a|,0<x≤4,f(8-x),4<x<8.若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是________.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(cosα,sinα),b=(cos(α+π4),sin(α+π4)),其中0<α<π2.(1)求(b-a)·a的值;(2)若c=(1,1),且(b+c)∥a,求α的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,点P,Q分别为AB1,CC1的中点.求证:(1)PQ∥平面ABC;(2)PQ⊥平面ABB1A1.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-3)2+y2=1,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上,右准线与圆C相切.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M,与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时,求直线l的方程.18.(本小题满分16分)某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D,E分别在边AB,AC上);再取DE的中点M,建造直道AM(如图).设AD=x,DE=y1,AM=y2(单位:百米).(1)分别求y1,y2关于x的函数关系式;(2)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.19.(本小题满分16分)若函数f(x)在x0处有极值,且f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的“F点”.(1)设函数f(x)=kx2-2lnx(k∈R).①当k=1时,求函数f(x)的极值;②若函数f(x)存在“F点”,求k的值;(2)已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0)存在两个不相等的“F点”x1,x2,且|g(x1)-g(x2)|≥1,求a的取值范围.20.(本小题满分16分)在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=18.设数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=-1,an+bn=-12Sn-1(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列bnan是等差数列;(3)是否存在等差数列{cn},使得对任意n∈N*,都有Sn≤cn≤an?若存在,求出所有符合题意的等差数列{cn};若不存在,请说明理由.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.(选修42:矩阵与变换)已知矩阵A=01a0的逆矩阵A-1=02b0.若曲线C1:x24+y2=1在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2,求曲线C2的方程.B.(选修44:坐标系与参数方程)在极坐标系中,已知曲线C的方程为ρ=r(r>0),直线l的方程为ρcos(θ+π4)=2.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=27,求r的值.C.(选修45:不等式选讲)已知实数x,y,z满足x21+x2+y21+y2+z21+z2=2,求证:x1+x2+y1+y2+z1+z2≤2.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是12,且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店铺维持营业,否则该店就停业.(1)求发生调剂现象的概率;(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.23.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1},i=1,2,…,n.记范数为奇数的n维向量a的个数为An,这An个向量的范数之和为Bn.(1)求A2和B2的值;(2)当n为偶数时,求An,Bn(用n表示).2020届高三模拟考试试卷(七市联考)数学参考答案及评分标准1.92.53.104.525.236.π67.-158.139.210.1311.812.ln613.42714.(-∞,1)15.解:(1)因为向量a=(cosα,sinα),b=(cos(α+π4),sin(α+π4)),所以(b-a)·a=a·b-a2(2分)=cosαcos(α+π4)+sinαsin(α+π4)-(cos2α+sin2α)(4分)=cos(-π4)-1=22-1.(6分)(2)因为c=(1,1),所以b+c=(cos(α+π4)+1,sin(α+π4)+1).因为(b+c)∥a,所以[cos(α+π4)+1]sinα-[sin(α+π4)+1]cosα=0.(9分)于是sinα-cosα=sin(α+π4)cosα-cos(α+π4)sinα,从而2sin(α-π4)=sinπ4,即sin(α-π4)=12.(12分)因为0<α<π2,所以-π4<α-π4<π4,于是α-π4=π6,即α=5π12.(14分)16.证明:(1)取AB的中点D,连结PD,CD.在△ABB1中,因为点P,D分别为AB1,AB中点,所以PD∥BB1,且PD=12BB1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1∥BB1,CC1=BB1.因为点Q为棱CC1的中点,所以CQ∥BB1,且CQ=12BB1.(3分)于是PD∥CQ,PD=CQ.所以四边形PDCQ为平行四边形,从而PQ∥CD.(5分)因为CD⊂平面ABC,PQ⊄平面ABC,所以PQ∥平面ABC.(7分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC,所以BB1⊥CD.因为CA=CB,点D为AB中点,所以CD⊥AB.(10分)由(1)知CD∥PQ,所以BB1⊥PQ,AB⊥PQ.(12分)因为AB∩BB1=B,AB⊂平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,所以PQ⊥平面ABB1A1.(14分)17.解:(1)记椭圆E的焦距为2c(c>0).因为右顶点A(a,0)在圆C上,右准线x=a2c与圆C:(x-3)2+y2=1相切,所以(a-3)2+02=1,a2c-3=1,解得a=2,c=1.于是b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程为x24+y23=1.(4分)(2)(解法1)设N(xN,yN),M(xM,yM),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).由方程组y=k(x-2),x24+y23=1,消去y,得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.所以xN·2=16k2-124k2+3,解得xN=8k2-64k2+3.(6分)由方程组y=k(x-2),(x-3)2+y2=1,消去y,得(k2+1)x2-(4k2+6)x+4k2+8=0,所以xM·2=4k2+8k2+1,解得xM=2k2+4k2+1.(8分)因为AN=127AM,所以2-xN=127(xM-2),(10分)即124k2+3=127·21+k2,解得k=±1.(12分)所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(14分)(解法2)设N(xN,yN),M(xM,yM),当直线l与x轴重合时,不符题意.设直线l的方程为x=ty+2(t≠0).由方程组x=ty+2,x24+y23=1,消去x,得(3t2+4)y2+12ty=0,所以yN=-12t3t2+4.(6分)由方程组x=ty+2,(x-3)2+y2=1,消去x,得(t2+1)y2-2ty=0,所以yM=2tt2+1.(8分)因为AN=127AM,所以yN=-127yM.(10分)即-12t3t2+4=-127·2tt2+1,解得t=±1.(12分)所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.(14分)18.解:(1)因为S△ADE=23S△ABC,△ABC是边长为3的等边三角形,又AD=x,所以12AD·AE·sinπ3=23(12×32×sinπ3),所以AE=6x.(2分)由0<AD=x≤3,0<AE=x6≤3,得2≤x≤3.(解法1)在△ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2AD·AE·cosπ3=x2+36x2-6.所以,直道DE的长度y1关于x的函数关系式为y1=x2+36x2-6,x∈[2,3].(6分)在△ADM和△AEM中,由余弦定理得AD2=DM2+AM2-2DM·AM·cos∠AMD①,AE2=EM2+AM2-2EM·AM·cos(π-∠AMD)②.(8分)因为点M为DE的中点,所以DM=EM=12DE.由①+②,得AD2+AE2=DM2+EM2+2AM2=12DE2+2AM2.所以x2+(6x)2=12(x2+36x2-6)+2AM2,所以AM2=x24+9x2+32.所以,直道AM的长度y2关于x的函数关系式为y2=x24+9x2+32,x∈[2,3].(10分)(解法2)在△ADE中,因为DE→=AE→-AD→,所以DE→2=AE→2-2AE→·AD→+AD→2=(6x)2-2·6