广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试-数学(文)

·1·深圳高级中学(集团）2019-2020学年高三第一次测试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，，则=（）{|6}AxNx{|22}BxRxABA．B．C．D．0,5,6{5,6}{4,6}{|46}xx2.若复数,则的虚部为　　　　　　　　　　（　）12izizA.B．C．D.15i1515i153.已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为(　　)．A．0B．4C．－4D．±44.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A．B．C．D．2xyxeyxxysinxy6．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（）nanS32,14nnSS4nSA.B.C.D.801626307.设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的()Rxxfy),()(xfy)(xfyA.充分不必要条件B.必要不充条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)·2·A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年9.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵3sin2cos2fxxx6坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（）gxA.函数的最大值是B.函数的最小正周期为gx31gxC.函数在区间上单调递增D.函数的图像关于直线对称gx2,63gx3x10.如图，平面四边形ABCD中，E,F是AD,BD中点，AB=AD=CD=2，，022,90BDBDC将沿对角线BD折起至，使平面，则四面体中，下列结论ABD'ABD'ABDBCD'ABCD不正确的是（）A.平面//EF'ABCB.异面直线CD与所成的角为'AB090C.异面直线EF与所成的角为'AC060D.直线与平面BCD所成的角为'AC03011.已知，则下列不等式一定成立的是（）,(0,),sinsin02A.B.C.D.2212．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正实数的,1()(2),1xexfxfxx()10fxmxm取值范围为A．B．1(,1)(1,1)2ee1(,1)(1,1]2eeC．　　D．1(,1)(1,1)3ee1(,1)(1,1]3ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．函数的值域为________.1ln1xfxx14．若则1sinsin3a._____coscos22a·3·15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，na21a这个数列的前项和_______.2n-121nS16.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的内切球的体积为________．6三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．na410a3610aaa，，na20S18.(本题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且满足。ABCcba、、AbBacos3sin（1）求角A的大小；（2）若，求周长的最大值。4aABC19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，．nanS11,2a202)nnnnSaSan（（Ⅰ）求证：数列是等差数列；1nS（Ⅱ）求．123111++23nSSSSn20.（本小题满分12分）·4·在△ABC中，点D在线段AC上，且,,2,332sinABABC334,2BDDCAD（I）求；ABCCOS（II）求BC和AC的长21.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（Ⅲ）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．C222.（本小题满分12分）函数.0ln1212axxaaxxf（Ⅰ）讨论函数的单调性；fx（Ⅱ）当时，方程在区间内有唯一实数解，0amxxf21,e求实数的取值范围．m·5·2019-2020学年第一学期高三年级第一次测试文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案BDCACDBBCCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.14.15.16.1351,21()25,2()2nnnkkNSnnkkN32三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．na410a3610aaa，，na20S解：设数列的公差为，则，，nad3410aadd642102aadd．由成等比数列得，1046106aadd3610aaa，，23106aaa即，整理得，解得或．2(10)(106)(102)ddd210100dd0d1d当时，．0d20420200Sa当时，，1d14310317aad2012019202Sad20719033018.(本题满分12分）在中，角A、B、C所对的边分别为，且满足。ABCcba、、AbBacos3sin（1）求角A的大小；（2）若，求周长的最大值。4aABC18解：（1）依正弦定理可将化为BbAasinsinAbBacos3sinABBAcossin3sinsin又因为在中，所以有3tancos3sinAAA，即.ABC0sinB·6·∵,A03A（2）因为的周长，所以当最大时，的周长最大.ABCcbcba4cbABC解法一：316)(3)(cos21622222cbbcbccbAbccba4)(2cbbc且（当且仅当时等号成立）864)(4)(316)(222cbcbcbcb4cb所以周长的最大值12ABC19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，．nannS11,2a202)nnnnSaSan（（Ⅰ）求证：数列是等差数列；1nS（Ⅱ）求．123111++23nSSSSn19.（Ⅰ）证明：因为当时，，2n…1nnnaSS所以．所以,2分211()0nnnnnnSSSSSS110nnnnSSSS因为所以，所以，3分所以．4分11,2a216a10nnSS1111nnSS所以是以为首项，以1为公差的等差数列．6分1nS112S（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以.8分1211nnnS11nSn所以．10分1111(1)1nSnnnnn·7·所以1．12分12311111111++1++232231nSSSSnnn1111nnn20.（本小题满分12分）在△ABC中，点D在线段AC上，且,,2,332sinABABC334,2BDDCAD（I）求；ABCCOS（II）求BC和AC的长20.（Ⅰ）、................4分3133212sin21cos22ABCABC（Ⅱ）、设则bDCaBC,bACbAD3,2在中，,ABCABCCOSBCABBCABAC2222即….①........6分,31224922aabaab344922在中，，............8分ABCbbBDA2334244316cos2由得…②.....................10分0cosBDACOSBDC6322ab由①、②解得，所以BC=3，AC=3............................12分1,3ba21.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（Ⅲ）若，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．C2·8·21解法一：（Ⅰ）在中，因为为的中点，所以AOC,OAOCDACACDO又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面.POOPOACDOPOOACPDO（Ⅱ）因为点在圆上，所以当时，到AB的距离最大，且最大值为1.COCOABC又，所以面积的最大值为2ABABC12112又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为PABC1POPABC111133（Ⅲ）在中，，POB1,90POOBPOB所以,同理，所以22112PB2PCPBPCBC在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至平面，使之与平面PABCBCP共面，如图所示。当共线时，取得最小值ABP,,OECCEOE又因为，所以垂直平分，,OPPBCPCBOCPB即为中点从而，亦即EPB2622OCOEEC262的最小值为.CEOE262解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一.（Ⅲ）在中，，所以，同理POB1,90POOBPOB2245,112OPBPB2PC所以，所以.在三棱锥中，将侧面BCP绕PB旋转至平面PBPCBC60CPBPABCBCP，使之与平面共面，如图所示。当共线时，取得最小值.ABP,,OECCEOE所以在中，由余弦定理得：OCP212212cos(4560)OC21231222()222223·9·从而所以的最小值为.26232OCCEOE26222.（本小题满分12分）函数.0ln1212axxaaxxf（Ⅰ）讨论函数的单调性；fx（Ⅱ）当时，方程在区间内有唯一实数解，0amxxf21,e求实数的取值范围．m22.【解析】（I），1111,0axxfxaxaxxx（i）当时，，令,得，令,得，0axxxf10xf10x0xf1x函数f(x)在上单调递增，上单调递减；（2分）1,0,1（ii）当时，令，得,（3分）10a0xf11x112ax令,得，令,得，0xfaxx1,100xfax11函数f(x)在和上单调递增，上单调递减；（4分）1,0,1aa1,1（iii）当时，，函数f