搜索
1/52020北京西城区高三一模数学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合 ⸶㤴吠൭吠㸴橔ㄠ㔰⸶㤴吠൭吠ㄱㄠ或吠th橔ㄠ则 㔰⸶(A) t ㄠㄱh(B) hㄠ㸴h(C) t ㄠㄱh hㄠ㸴h(D) t ㄠ㸴h2.若复数 ⸶ 㸴t h h,则൭ ൭⸶(A)hh(B)h (C) ㄱ(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A) ⸶吠 h(B) ⸶ 吠(C) ⸶吠t吠㸴(D) ⸶h吠4.设等差数列㤴 橔的前 项和为 ,若 㸴⸶hㄠ ⸶ ,则 ⸶(A)10(B)9(C)8(D)75.设 hㄠt hㄠ㔰 ㄠ hㄠ则以线段 㔰为直径的圆的方程是(A) 吠t㸴hh h⸶h(B)) 吠t㸴hh h⸶ (C) 吠 㸴hh h⸶h(D) 吠 㸴hh h⸶ 6.设 ㄠ ㄠ 为非零实数,且 t ㄠ t ,则(A) t (B) t h(C)a bht (D) th 2/57.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)hh ㄠ且h㸴 (B)hh ㄠ且h㸴 (C)hh ㄠ且h㸴 (D)hh ㄠ且h㸴 8.设 ㄠ 为非零向量,则“൭ ൭⸶൭ ൭ ൭ ൭”是“ 与 共线”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数 吠h⸶sinx hsinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着吠轴上一点旋转 ㄱ ;②沿吠轴正方向平移;③以吠轴为轴作轴对称;④以吠轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数 吠h⸶吠h ㄱ吠 ㄠ吠 ㄱ 쳌吠ㄠ吠tㄱ若关于吠的方程 吠h⸶ h有四个实数解吠 ⸶ ㄠhㄠ㸴ㄠ h,其中吠 吠h吠㸴吠 ,则 吠 吠hh 吠㸴t吠 h的取值范围是(A) ㄱㄠ ㄱ (B) ㄱㄠ (C) ㄱㄠ ㄱㄱ (D) ㄱㄠ h第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在 吠 吠h 的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 㸴,则实数吠的取值范围是.13.设双曲线吠h t h h⸶ tㄱh的一条渐近线方程为 ⸶hh吠,则该双曲线的离心率为.3/514.函数 吠h⸶ h吠 h的最小正周期为;若函数 吠h在区间 ㄱㄠ h上单调递增,则 的最大值为.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 㔰 ⺁t 㔰 ⺁ 中, 平面 㔰 ⺁,底面ABCD满足 ⺁ 㔰 ,且 㔰⸶ ⺁⸶ ⸶hㄠ㔰⺁⸶⺁ ⸶hh (Ⅰ)求证: 㔰 平面 ⺁⺁ ;(Ⅱ)求直线 㔰与平面㔰 ⺁ 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△ 㔰 满足,且 ⸶ ㄠ ⸶h 㸴,求 的值及△ 㔰 的面积.从①㔰⸶ ,② ⸶㸴,③ ⸶㸴h 㔰这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.4/518.(本小题满分14分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数 吠h⸶ 吠 吠ht hh吠ㄠ其中 (Ⅰ)若曲线 ⸶ 吠h在点 hㄠ hhh处切线的倾斜角为 ,求 的值;(Ⅱ)已知导函数 t 吠h在区间 ㄠǡh上存在零点,证明:当吠 ㄠǡh时, 吠httǡh.5/520.(本小题满分15分)设椭圆 t吠hh h⸶ ,直线 经过点 ㄠㄱh,直线 h经过点 ㄠㄱh,直线 直线 h,且直线 , h分别与椭圆 相交于 ㄠ㔰两点和 ㄠ⺁两点.(Ⅰ)若 ㄠ 分别为椭圆 的左、右焦点,且直线 吠轴,求四边形 㔰 ⺁的面积;(Ⅱ)若直线 的斜率存在且不为0,四边形 㔰 ⺁为平行四边形,求证: ⸶ㄱ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形 㔰 ⺁能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数 ,如果 h个整数 ㄠ hㄠ ㄠ 满足 h ,且 h ⸶ ,则称数组 ㄠ hㄠ ㄠ h为 的一个“正整数分拆”.记 ㄠ hㄠ ㄠ 均为偶数的“正整数分拆”的个数为 ㄠ ㄠ hㄠ ㄠ 均为奇数的“正整数分拆”的个数为쳌 .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数 h,设 ㄠ hㄠ ㄠ h是 的一个“正整数分拆”,且 ⸶h,求 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: 쳌 ;并求出使得等号成立的 的值.(注:对于 的两个“正整数分拆” ㄠ hㄠ ㄠ h与 ㄠ hㄠ ㄠ h,当且仅当 ⸶ 且 ⸶ ㄠ h⸶ hㄠ ㄠ ⸶ 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)