2019-2020学年陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题(解析版)

第1页共19页2019-2020学年陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①xR，2104xx≥；②0x，1ln2lnxx；③若命题pq是真命题，则p是真命题；④22xxy是奇函数；其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据全称命题、特称命题的真假性判断①②的真假性.根据含有逻辑联结词命题的真假性判断③的真假性.根据函数的奇偶性判断④的真假性.【详解】对于①，由于214yxx开口向上且11404，所以①为真命题.对于②，当xe时，1ln22lnee，故②为真命题.对于③，pq为真命题，可能p假q真，故③为假命题.对于④，构造函数22xxfx，函数fx的定义域为R，且2222xxxxfxfx，所以fx为奇函数.故④为真命题.综上所述，真命题的个数有3个.故选：C【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题、含有逻辑联结词命题的真假性，考查函数的奇偶性，属于基础题.2．点B是点(1,2,3)A在坐标平面yoz内的射影，则||OB等于（）A．14B．13C．10D．5【答案】B【解析】根据题意得A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正射影B，利用两点之间的距离公式得到结果．【详解】∵点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正射影，∴B在坐标平面yOz上，竖标和纵标与A相同，而横标为0，第2页共19页∴B的坐标是（0，2，3），∴|OB|222313，故选：B．【点睛】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题．3．已知:280,:340xpqxx，则（）A．p是q的充分不必要条件B．p是q的充分不必要条件C．p是q的必要不充分条件D．p是q的必要不充分条件【答案】D【解析】先分解化简命题p,q再根据范围大小判断充分必要性.【详解】:2803xpx:3404qxxx或3x34qx所以p是q的既不充分也不必要条件p是q的必要不充分条件故答案选D【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，抓住范围的大小关系是解题的关键.4．已知双曲线22221(00)xyCabab：，的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A．2B．2C．322D．22【答案】D【解析】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．第3页共19页详解：2e1()2cbaa1ba所以双曲线的渐近线方程为xy0所以点（4，0）到渐近线的距离4d2211故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．5．若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．233【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线222210,0xyabab的渐近线方程为0bxay，圆心2,0到渐近线距离为22213d，则点2,0到直线0bxay的距离为222023babdcab，即2224()3cac，整理可得224ca，双曲线的离心率2242cea．故选A．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6．已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）第4页共19页A．32B．155C．105D．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABCD，则所求角为21111,2,21221cos603,5BCDBCBDCDAB，易得22211CDBDBC，因此111210cos55BCBCDCD，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．7．倾斜角为4的直线经过椭圆22221(0)xyabab右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2AFFB，则该椭圆的离心率为（）A．32B．23C．22D．33【答案】B【解析】设B到右准线距离为d，因为2AFFB，所以A到右准线距离为2d，从而2,3AFedBFedABed倾斜角为4，2cos433deed，选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不等式，再根据,,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方第5页共19页程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．设1111ABCDABCD是边长为a的正方体，1AC与1BD相交于点O，则有（）A．211ABACaB．212ABACaC．21CDABaD．112ABAOa【答案】A【解析】利用向量数量积的运算对选项逐一计算进行验证，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，1111,2,,,4ABaACaABACABAC，所以2112cos4ABACaaa，所以A选项正确.对于B选项，11111,3,,,ABaACaABACABAC，所以2221111113cos333ABaABACaaCABaaaACa，所以B选项错误.对于C选项，11113,2,,,4CDaABaCDABBAABBAB，所以2132cos4CDABaaa，所以C选项错误.对于D选项，111113,,,,2ABaAOaABAOABAC，所以2221111113331cos22223ABaABAOaaCABaaaACa，所以D选项错误.故选：A第6页共19页【点睛】本小题主要考查空间向量的数量积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知命题p：“关于x的方程240xxa有实根”，若p为真命题的充分不必要条件为31am，则实数m的取值范围是（）A．1,B．()1,+?C．,1D．,1【答案】B【解析】命题p：4a，p为4a，又p为真命题的充分不必要条件为31am，故3141mm10．设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F,点M在C上,5MF,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为（）A．24yx或28yxB．22yx或28yxC．24yx或216yxD．22yx或216yx【答案】C【解析】∵抛物线C方程为22(0)ypxp,∴焦点(,0)2pF，设(,)Mxy,由抛物线性质52pMFx,可得52px，第7页共19页因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即(5,4)2pM,代入抛物线方程得210160pp，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为24yx或216yx.故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF,以MF为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11．记动点P是棱长为1的正方体1111-ABCDABCD的对角线1BD上一点，记11DPDB．当APC为钝角时，则的取值范围为()A．(0,1)B．1(,1)3C．1(0,)3D．(1,3)【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围．【详解】第8页共19页由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），1D（0，0，1）∴=（1，1，-1），∴=（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）=+=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0∴0PAPC∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得＜λ＜1因此，λ的取值范围是（，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．12．已知F为抛物线C：24yx的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D、E两点，则ABDE的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】设出直线1l，2l的方程，联立直线1l，2l的方程与抛物线方程，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式，求得ABDE的表达式，再结合基本不等式求得ABDE的最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为1,0F，依题意可知直线1l，2l的斜率存在且不为零，设直线1l的方程为1ykx，则直线2l的方程为11yxk.由214ykxyx消去y得2222240kxkxk，所以第9页共19页2222442ABkxxkk，所以244ABABxxpk.同理可求得244CDCDxxpk.所以2222448482416ABkkkDEk，当且仅当2244,1kkk时取得最小值.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．若命题“2,0xRxxa”是假命题，则实数a的取值范围是______．【答案】1,4【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可【详解】命题“20xRxxa，”是假命题，则命题“20xRxxa，”是真命题，则140a，解得14a则实数a的取值范围是14，故答案为14，【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．14．设xR，则21x是220xx的_______________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）【答案】充分不必要【解析】求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系说明．第10页共19页【详解】2113xx，2202xxx或1x，∵(1,3)(,2)(1,)Ü，∴21x是220xx的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的概念是解题关键．充分必要条件与集合的包含之间关系：命题p对应集合是A，命题q对应集合是B，则ABp是q的充分条件，q是p的必要条件，ABp是q的充要条件，ABÜp是q的充分不必要条件，q是p