2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期期中数学试题(解析版)

第1页共20页2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．若椭圆222116xyb过点2,3，则其焦距为（）A．23B．25C．43D．45【答案】C【解析】将点2,3代入椭圆得到2b，23c，得到焦距.【详解】椭圆222116xyb过点2,3，故243116b，2b，故16423c，焦距为243c.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的焦距，意在考查学生的计算能力.2．命题“若0m，则20xxm有实数根”与其逆命题、否命题、逆否命题者四个命题中，假命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．4个【答案】C【解析】因为0m，则140m，故20xxm有实数根，原命题的逆命题为：若20xxm有实数根，则0m，取14m，则方程为2104xx，此方程的解为12x，故方程有实数根，但104m，故逆命题为假命题.又原命题与其逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假，故4个命题中，假命题的个数为2.点睛：在命题的真假判断中，注意利用原命题与其逆否命题同真同假来判断.3．已知,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面（）A．若//,//mm,则//B．若,//mm,则//第2页共20页C．若,//mn,则//mnD．若,mn,则//mn【答案】D【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若//,//mm,则//或,相交，A错误；B.若,//mm,则，B错误；C.若,//mn,则mn，C错误；D.若,mn,则//mn，D正确；故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.4．下列命题说法正确的是（）A．命题“若21x,则1x”的否命题为：“若21x,则1x”B．“03x”是“11x”的必要不充分条件C．命题“xR,使得210xx”的否定是：“xR,均有210xx”D．命题“若xy，则sinsinxy”的逆命题为真命题【答案】B【解析】试题分析：A、命题“若21x，则1x”的否命题为：“若，则1x”；B、即为，可知03x是的必要不充分条件；C、命题“xR，使得210xx”的否定是：“xR，均有”；D、命题“若xy，则sinsinxy”的逆命题为“若sinsinxy，则xy”，是假命题（如）.【考点】常用逻辑用语．5．设方程22(3)20xyxyx表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线第3页共20页【答案】A【解析】根据题意得到30xy且2220xyx，或2220xyx，画出图像，分别判断得到答案.【详解】22(3)20xyxyx，故30xy且2220xyx，如图所示：画出图像知，表示一条直线；或2220xyx，即2211xy表示一个圆.故选：A.【点睛】本题考查了方程表示的曲线，漏解是容易发生的错误.6．如右图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段ACBD，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB4cmAC6cmBD8cmCD217cm，，，，则这个二面角的度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】过点A作AEBD且AEBD，连接,CEDE，则AEAB，即CAE为二面角的平面角，由题意，得2228652AEBDACCECDED，，，由第4页共20页余弦定理，得2226436521cos22862AEACCECAEAEAC，则060CAE，即这个二面角的度数为060；故选B.7．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】C【解析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC如图所示，由于//,//MNACNPBC，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP平面ACB，所以//AB平面MNP.对于②，连接BC交MP于D，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以在平面ABC内AB与DN相交，所以直线AB与平面MNP相交.第5页共20页对于③，连接CD，则//ABCD，而CD与PN相交，即CD与平面PMN相交，所以AB与平面MNP相交.对于④，连接CD，则////ABCDNP，由线面平行的判定定理可知//AB平面MNP.综上所述，能得出//AB平面MNP的图形的序号是①④.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDABCD平面，NBABCD平面，且1MDNB，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MCANB．//GBAMN平面C．CMNAMN平面平面D．//DCMABN平面平面第6页共20页【答案】C【解析】由题意，取MN中点O，易知AOC就是二面角AMNC的平面角，有条件可知，90AOC，所以平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误．故选C．9．如图，在长方形ABCD中，3AB，1BC，点E为线段DC上一动点，现将ADE沿AE折起，使点D在面ABC内的射影K在直线AE上，当点E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为（）A．32B．233C．3D．2【答案】C【解析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【详解】由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12，如图当E与C重合时，AK=114=12，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=3，∴∠K0D'=23，其所对的弧长为1223=3，故选：C第7页共20页【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】等腰中，算出，由线面垂直的判定与性质，证出面，得，从而证明平面，可证明面，三棱锥的高为定值，在中，算出，可得，利用三角函数的有界性求出的最大值，即可得出结果．【详解】在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．【点睛】第8页共20页本题着重考查了线面垂直的判定与性质、棱锥的体积公式，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.二、填空题11．已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式_____，它是_____（填写”真命题”或”假命题”）．【答案】若x2≥1，则x≤0或x≥1真命题【解析】由原命题为真可得逆否命题也为真，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．【详解】原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，显然该命题为真命题，则它的逆否命题形式“若x2≥1，则x≤0或x≥1”，是真命题，故答案为若x2≥1，则x≤0或x≥1，真命题【点睛】写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．12．正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是1,AAAB的中点，则EF与直线1AC所成角的大小为______；EF与对角面11BDDB所成角的正弦值是__________．【答案】212【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，计算0,1,1EF，12,2,2AC，对角面11BDDB的一个法向量为1,1,0n，计算得到答案.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则2,0,1E，2,1,0F，2,0,0A，10,2,2C，故0,1,1EF，12,2,2AC.故10EFAC，故EF与直线1AC所成角的大小为2.第9页共20页易知对角面11BDDB的一个法向量为1,1,0n，设EF与对角面11BDDB所成角为，故1sincos,2EFnEFnEFn.故答案为：2；12.【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.13．已知某组合体的三视图如图所示，其侧视图是一个等腰直角三角形，则该组合体的表面积为______，体积为____________.【答案】12441123【解析】根据三视图知，几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形，计算表面积和体积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体是由一个三棱锥和四分之一圆锥组合形成的图形.第10页共20页故11112112254424224S；1111111343123V.故答案为：1244；1123.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．已知圆锥SO的底面半径是23，母线长是2，则将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于________，若M是SA的中点，从M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A，则绳子长度的最小值等于__________.【答案】237【解析】扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233，半径为母线长2，从而可得圆心角；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得结果.【详解】扇形侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，为24233，半径为母线长2，所以，将它侧面沿一条母线SA展开而成的扇形的中心角等于42323；设侧面展开图为扇形'ASA，则展开图中'MA的长就是绳子长度的最小值，由余弦定理可得为1'1421272MA，故答案为23，7.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图以及余弦定理的应用，属于中档题.求旋转体表面上两点的最小距离时，往往利用其侧面展开图转化为平面几何知识解答.15．已知方程22131xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为____________.第11页共20页【答案】2,3【解析】根据题意得到301013mmmm，解得答案.【详解】方程22131xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则满足：301013mmmm，解得23m.故答案为：2,3.【点睛】本题考查了根据方程表示椭圆求参数，意在考查学生对于椭圆定义的理解.16．如图，在三棱柱111ABCABC中，D，E，F分别为AB，AC，1AA的中点，设三棱