第1页共18页2019-2020学年北京师大附中上学期高二期末考试数学试题一、新添加的题型1.已知,为虚数单位,若为纯虚数,则的值为()A.2B.1C.-2D.-1【答案】D【解析】【详解】由题知为纯虚数,实部为.故.故本题选.二、单选题2.已知i是虚数单位,复数z满足1zi,则复平面内表示z的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标,从而得到答案.【详解】复数1zi,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为11,所以复平面内表示z的点在第四象限.故选:D【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.3.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于()A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】试题分析:设出等差数列的首项和公差,由a3=6,S3=12,联立可求公差d.解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a3=6,S3=12,得:解得:a1=2,d=2.故选C.【考点】等差数列的前n项和.4.已知双曲线22xa-25y=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于第2页共18页A.31414B.324C.32D.43【答案】C【解析】由题意知c=3,故a2+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率e=ca=32.5.“0mn”是“方程221xymn表示的曲线为椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若方程221xymn表示的曲线为椭圆,则0m,0n且mn,则“0nm”是“方程221xymn表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合椭圆的方程求出m,n的关系是解决本题的关键.6.设正方体1111ABCDABCD的棱长为2,则点1A到平面1BAC的距离是()A.32B.22C.223D.233【答案】D【解析】由等体积法有1111AACBCAABVV,可求出答案.【详解】设点1A到平面1BAC的距离是h,由等体积法1111AACBCAABVV有11113AACBACBVSh△,有122113sin602223222ACBSAC△111121114223323CAABAABVSBC△所以142333h,解得:233h第3页共18页故选:D【点睛】本题考查点到面的距离,考查等体积法,属于基础题.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为()A.5618B.55C.65D.255【答案】D【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,E,F分别是C1D1,CC1的中点,A(2,0,0),E(0,1,2),B(2,2,0),F(0,2,1),AE=(﹣2,1,2),BF=(﹣2,0,1),设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ,第4页共18页则cosθ=•AEBFAEBF=635=255,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为255.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,注意向量法的合理运用,属于基础题.8.如图,已知三棱锥S–ABC中,SA=SB=CA=CB=3,AB=2,SC=2,则二面角S–AB–C的平面角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】取AB的中点O,连接SO,CO,由题设条件推导出AB⊥平面SOC,由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC,在△SOC中,求得∠SOC.【详解】如图,取AB的中点O,连接SO,CO,由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC,∴二面角S–AB–C的平面角是∠SOC.在△SOA中,SO=222SAAO,同理CO=2,在△SOC中,SO=CO=SC=2,∴∠SOC=60°,二面角S–AB–C的平面角的大小为60°.故选C.【点睛】本题考查面面角的大小的求法,解题时要认真审题,合理转化空间问题为平面问题,属于中档题.9.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线22(0)ypxp上任意一点,M是第5页共18页线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为()A.22B.1C.2D.2【答案】B【解析】设00,Pxy,,02pF,M是线段PF的中点,所以002,22pxyM.直线OM的斜率为:00020000012k2222222yyyppypypxxpyp.显然00y时的斜率较大,此时000011k122222ypyppypy,当且仅当0022yppy,0 yp时,斜率最大为1.故选B.10.已知曲线1:2Cyx与曲线222:4Cxy怡好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是()A.,10,1B.1,1C.1,1D.1,01,【答案】C【解析】利用绝对值的几何意义,由2xy可得2,022,0yyxyyy,曲线2xy与方程224xy的曲线必相交于0,2,为了使曲线1C与双曲线2C恰好有两个不同的公共点,则两曲线无其它公共点,将2xy代入方程224yx,整理可得214440yy,分类讨论,可得出结论,根据对称性可得出0y时的情形.【详解】双曲线1C的方程为2,022,0yyxyyy,第6页共18页所以,曲线1C的图象与曲线2C的图象必相交于点0,2,为了使曲线1C与曲线2C恰好有两个公共点,将2xy代入方程224yx,整理可得214440yy.①当1时,2y满足题意;②当1时,由于曲线1C与曲线2C恰好有两个公共点,2161611160,且2是方程214440yy的根,则4101,解得11.所以,当0y≥时,11.根据对称性可知,当0y时,可求得11.因此,实数的取值范围是1,1.故选:C.【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围,在解题时要对变量的取值进行分类讨论,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.三、填空题11.i是虚数单位,则51ii的值为__________.【答案】13【解析】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模.【详解】5(5)(1)23131(1)(1)iiiiiii.【点睛】本题考查了复数模的运算,是基础题.12.双曲线2212516yx的渐近线方程为_____________第7页共18页【答案】5x4y【解析】令2202516yx,解得54yx.∴双曲线2212516yx的渐近线方程为54yx.答案:54yx13.设12,FF是椭圆22194xy的两个焦点,P是椭圆上的点,且12:2:1PFPF,则△12FPF的面积等于___________.【答案】4【解析】由椭圆的定义有126PFPF,结合12:2:1PFPF可得14PF,22PF,又1225FF,则三角形面积可求.【详解】由椭圆22194xy有3,2,5abc.由椭圆的定义有126PFPF,又12:2:1PFPF所以14PF,22PF,又1225FF.在△12FPF中,2222212122420PFPFFF所以△12FPF为直角三角形,△12FPF的面积为121124422PFPF故答案为:4【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.14.已知F是抛物线C:28yx的焦点,是C上一点,F的延长线交y轴于点.若为F的中点,则F____________.【答案】6【解析】如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与x轴交于点'F,作MBl与点B,NAl与点A,由抛物线的解析式可得准线方程为2x,则2,4ANFF',在直角梯形ANFF'中,中位线第8页共18页'32ANFFBM,由抛物线的定义有:3MFMB,结合题意,有3MNMF,故336FNFMNM.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.15.已知等比数列{an}各项均为正数,5671,32aaa,若存在正整数(3)kk,使得123123kkaaaaaaaa,请写出一个满足题意的k值_________.【答案】4~12的正整数均可【解析】根据题意求出等比数列na的通项公式,然后由条件123123kkaaaaaaaa有152212nkk,求解即可.【详解】在等比数列{an}中,设公比为q,数列各项均为正数,所以0q5671,32aaa,则253aqq,所以26qq,解得:2q=或3q(舍)又44511122aaqa,所以512a.则15161222nnnnaaq555123212122211232kkkkaaaa1112315221123122232kkkkkkkkkaaaaaq123123kkaaaaaaaa第9页共18页即12112123232kkkk,即152212kkk1522210kkk当152kkk,即213100kk,也即131291312922k时,有152220kkk成立.又正整数(3)kk,且1312913122又当410k时,1502kk,显然有152221kkk成立.当11,12k时,也有152221kkk成立.所以4~12的正整数均可满足条件.故答案为:4~12的正整数均可【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前n项和以及解不等式,属于中档题.16.已知数列na的各项均为正整数,Sn为其前n项和,对于n=1,2,3,…,有135,=,2nnnnnkaaaaa为奇数为偶数,其中k为使1na为奇数的正整数,当35a时,1a的最小值为__________;当11a时,1220SSS___________.【答案】5910【解析】由题设可知当35a时,252ka解得15253ka或152mka,因为na的各项均为正整数,,mk为正整数,所以当2k时,1a有最小值154553a.当11a时,可求出2348,1,8aaa,得到数列na是周期为2的周期数列,可求出结果.【详解】数列na的各项均为正整数第10页共18页135,=,2nnnnnkaaaaa为奇数为偶数,其中k为使1na为奇数的正整数.当35a时,232kaa或3235aa.即252ka或2535