2019届福建省宁德市高三毕业班第二次(5月)质量检查考试数学(文)试题(解析版)

第1页共23页2019届福建省宁德市高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】化简集合A，B，利用并集概念及运算得到结果.【详解】解：集合＝，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，则∪{x|0＜x＜2}＝，故选：A．【点睛】本题考查集合的并集的求法，考查二次不等式的解法、指数不等式的解法，属于基础题.2．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式及两角差余弦公式即可得到结果.【详解】，故选：B【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于基础题.3．若已知向量，，若，则的值为（）第2页共23页A．B．C．D．【答案】D【解析】利用向量平行的充要条件得到，进而利用数量积的坐标运算得到结果.【详解】∵向量，，且，∴，即∴，故选：D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.4．在一组数据为，，…（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据相关系数的概念即可作出判断.【详解】∵这组样本数据的相关系数为，∴这一组数据，，…线性相关，且是负相关，∴可排除D，B，C，故选：A【点睛】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题．5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与第3页共23页太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为（）（参考数据：，，，）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据，先求出h的大小，进而可得结果.【详解】∵，且顶距时，晷影长．∴，当晷影长度，∴故选：B【点睛】本题以九服晷影算法为背景，考查了公式的简单应用，属于基础题.6．已知平面区域：，：，则点是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】画出两个平面区域，然后判断充要条件即可．【详解】平面区域，表示圆以及内部部分；的可行域如图三角形区域：第4页共23页则点P（x，y）∈Ω1是P（x，y）∈Ω2的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充要条件的应用，是基本知识的考查．7．直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．【详解】解：由直三棱柱的底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r，又由直三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2，∴外接球的表面积S＝4πR2．故选：C．【点睛】本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．8．若函数，则（）A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为第5页共23页C．函数的一个对称中心为D．函数在上是增函数【答案】D【解析】由条件利用正弦函数的周期性、最大值、图象的对称性、单调性得出结论．【详解】函数它的最小正周期为π，故排除A；函数的最大值为，故排除B；令x，求得f（x），故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除C；，此时在上单调递增，∴函数在上是增函数故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的化简、正弦函数的周期性、图象的对称性、最值、单调性，属于基础题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（）A．25B．6C．42D．46【答案】B【解析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可．第6页共23页【详解】解：作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示：由三视图可知底面BCDE是直角梯形，DE∥BC，BC⊥BE，DE⊥面ABE，AE⊥BE，且AE＝BE＝DE＝4，BC＝2，∴AD＝AB＝42，AC＝6，CD25，∴AC为四棱锥的最长棱．故选：B．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．10．若过抛物线：焦点的直线与相交于，两点，且，过线段的中点作轴的垂线交抛物线的准线于点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的方程为：，联立方程利用韦达定理表示弦长，求出m的值，进而得到的值，从而得到面积.【详解】抛物线：焦点为，设的方程为：，代入抛物线方程可得：，设A（，）、B（，），则+，，第7页共23页，∴，不妨取，则∴，∴的面积为故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到弦长、中点、面积等问题，属于中档题.11．函数的导函数满足在上恒成立，且，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数F（x），求出F′（x）＞0，可得函数F（x）是定义在R上的增函数，故有F（1）＞F（0），推出f（1）＞ef（0）．【详解】解：令函数F（x），则F′（x），∵f′（x）＞f（x），∴F′（x）＞0，故函数F（x）是定义在R上的增函数，∴F（1）＞F（0），即，故有f（1）＞ef（0）；又，∴，故选：Ａ【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，考查转化能力与计第8页共23页算能力，属于中档题．12．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用指数函数与对数函数的图像与性质即可得到结果.【详解】,∴∴而结合选项∴，故选：B【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图像与性质，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．复数的实部为__________．【答案】【解析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【详解】解：复数，第9页共23页则复数z的实部为．故答案为：．【点睛】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．14．已知直线是双曲线：的一条渐近线，则双曲线的离心率为____．【答案】【解析】由直线y＝2x为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，推导出2a＝b，由此能求出双曲线的离心率．【详解】解：∵直线y＝2x为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，∴2a＝b，∴ca，∴e．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，是基础题．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为___．第10页共23页【答案】【解析】△ACD中求出AC，△ABD中求出BC，△ABC中利用余弦定理可得结果.【详解】解：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，，所以BC；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝解得：AB，则两目标A，B间的距离为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．16．若函数有最小值，则实数的取值范围为______．第11页共23页【答案】【解析】由题意可得在上的最小值为，当时，，故即可得到结果.【详解】在上单调递增，∴，当时，，此时∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，若函数有最小值，则，即，故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的范围，利用导数法和数形结合判断函数的取值范围是解决本题的关键．三、解答题17．已知等比数列的各项均为正数，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，由题意布列方程组，即可得到数列的通项公式；第12页共23页（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，利用裂项相消法即可得到数列的前项和．【详解】解：（Ⅰ）设数列的公比为，依题设有，因为，所以，，解得，，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，所以，．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18．在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；第13页共23页（Ⅱ）为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）要证平面平面，即证平面，转证（Ⅱ）利用等体积法即可得到三棱锥的体积．【详解】解法一：（Ⅰ）因为是边长为的正三角形，为的中点，所以，同理，，又，因为，所以又，所以平面，又平面，所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，所以，为直角三角形，所以，且，解得．第14页共23页在中，由，．解得，即即,，解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面，所以，即，，所以，得，则，所以，又，所以平面，在中，，所以．【点睛】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．19．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高第15页共23页形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）若将购买金额不低于元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取人，求这人中消费金额不低于元的人数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中的人中抽取人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求人中至少有人购买金额不低于元的概率；（Ⅲ）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满元可立减元；方案二：金额超过元但又不超过元的部分打折，金额超过元但又不超过元的部分打折，金额超过元的部分打折．若水果的价格为元/千克，某游客要购买千克，应该选择哪种方案．【答案】（Ⅰ）2人（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）选择方案二更优惠．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可得到结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抽取的人中消费金额低于元的有人，记为，，消费金额不低于元的有人，记为，，所有基本事件共有种，其中满足题意的有种，根据古典概型概率公式得到结果；（Ⅲ）依题意得，该游客要购买元的水果，分别计算两种方案需支付的金额，从而作出判断.【详解】解：（Ⅰ）样本中“水果达人”的频率为所以样本中“水果达人”的人数为如图可知，消费金额在与的人数比为第16页共23页其中消费金额不低于元的人数为人所以，抽取的人中消费金额不低于元的人数（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抽取的人中消费金额低于元的有人，记为，，消费金额不低于元的有人，记为，所有基本事件如下：，，，，，，，，，共有种，其中满足题意的有种所以（Ⅲ）依题意得，该游客要购买元的水果，若选择方案一，则需支付元选择方案二，则需支付元，所以选择方案二更优惠．【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型概率公式、方案决策问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.20．已知椭圆：的左焦点为，且过点，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点为椭圆上的动点，过点作平行于的直线交椭圆于，两点，求面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意可得，，且从而得到椭圆的方程；第17页共23页（Ⅱ）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．联立方程利用韦达定理表示，求出函数的值域，即可得到面积的取值范围．【详解】解法一：（Ⅰ）依题意得，左焦点，则右焦点即，且则得椭圆方程为（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，此时．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去得：．显然，设，，则故，第18页共23页．因为