湖南省娄底市2019届高三第二次模拟考试(理数)

1湖南省娄底市2019届高三第二次模拟考试数学(理科)绝密★启用前考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数z满足(1＋i)z＝||－4i，则z＝A．2＋2iB．1＋2iC．2－2iD．1－2i2．已知集合A＝x|x＋31－x≥0，则∁RA＝A．[－3，1)B．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪[1，＋∞)3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为A．4B．3C．2D．14．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于2A．1B．2C．3D．45．已知f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝－xx－2，则函数在x＝－1处的切线方程是A．2x－y＋1＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0D．x＋2y－2＝06．如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝sinx，y＝cosx的一部分，Aπ2，0，C(0，1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则A．P1P2B．P1P2C．P1＝P2D．大小关系不能确定7．已知△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，AD⊥BC于D，AD→＝λAB→＋μAC→，则λμ＝A．3B．6C．23D．328．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以点P(b，0)为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为A.2B.3C.52D.729．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是A．100B．96C．60D．3010．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于A．1B．－1C．eD.1e11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，φ∈π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是A.712，1312B.1112，17123C.712，1312D.1112，171212．已知函数f(x)＝ex－ax－1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是(其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…)A.e2－12e2，eB.e2－12e2，1∪e－1，e2－12C．(e－1，e)D.e2－12e2，e－1e∪()e－1，e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知二项式ax－1x6的展开式中的常数项为－160，则a＝________．14．若实数x，y满足不等式组x＋y－4≤0，2x－3y－8≤0，x≥1，则目标函数z＝3x－y的最大值为________．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则Rr＝________．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c＝2b，△ABC的面积为1，则a的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题，共60分。17．(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意的r、t∈N*，都有SrSt＝rt2.(Ⅰ)判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论；(Ⅱ)若数列{bn}满足anbn＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn6.18．(本小题满分12分)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝12.已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的大小是60°.连接C′B，C′A，如图：4(Ⅰ)求证：平面C′FA⊥平面ABC′；(Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．19．(本小题满分12分)已知平面上一动点P到定点F(3，0)的距离与它到直线x＝433的距离之比为32，记动点P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝54，求△MON面积的最大值．20．(本小题满分12分)随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产－运输－销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题．(Ⅰ)在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的．根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如下表：使用堆沤肥料x(千克)24568产量增加量y(百斤)34445依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤？(Ⅱ)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市．“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位：份)，制成如下表格(注：x，y∈N*，且x＋y＝30)：每日前8个小时销售量(单位：份)15161718192021频数10x16161513y若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x的取值范围．附：回归方程系数公式b^＝错误!，错误!＝错误!－错误!·错误!.521．(本小题满分12分)已知f(x－1)＝2ln(x－1)－kx＋k(x1)．(Ⅰ)判断当－1≤k≤0时f(x)的单调性；(Ⅱ)若x1，x2(x1≠x2)为f(x)两个极值点，求证：x[f(x1)＋f(x2)]≥(x＋1)[f(x)＋2－2x]．6(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝m＋2t，y＝2t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝41＋sin2θ.(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若||PQ的最小值为2，求m的值．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2a|－|x－a|，a∈R.(Ⅰ)若f(1)1，求a的取值范围；(Ⅱ)若a0，对?x，y∈(－∞，a]，都有不等式f(x)≤||y＋2020＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．7数学(理科)参考答案一、选择题题号123456789101112答案CDCDABBACABD1.C【解析】(1＋i)z＝4，z＝41＋i＝2－2i.2．D【解析】∵(x＋3)(x－1)≤0且x≠1，∴A＝{}x|－3≤x1，∴∁RA＝(－∞，－3)∪[1，＋∞)．3．C【解析】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选C.4．D【解析】该几何体为四棱锥，体积为V＝12（2＋4）×23·x＝8，∴x＝4.5．A【解析】当x0时，－x0，∴f(－x)＝－xx＋2，∴f(x)＝xx＋2(x0)，k＝f′(－1)＝2，切点为(－1，－1)，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)．∴切线方程为2x－y＋1＝0.6．B【解析】根据题意，阴影部分的面积的一半为∫π40(cosx－sinx)dx＝2－1，于是此点取自阴影部分的概率为P1＝2×2－1π2＝4（2－1）π4（1.4－1）3.2＝12.又P2＝1－P112，故P1P2。7．B【解析】BC→＝AC→－AB→，∵AD→⊥BC→，∴(λAB→＋μAC→)·(－AB→＋AC→)＝0，∴－λAB→2＋μAC→2＋(λ－μ)AB→·AC→＝0，∴λ＝6μ，∴λμ＝6.8．A【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线bx－ay＝0与圆P交于M，N，因为∠MPN＝90°，所以圆心P到bx－ay＝0的距离为b2a2＋b2＝b2c＝22a，即2c2－2a2＝2ac，解得e＝2.故选A.9．C【解析】值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.故选C.10．A【解析】考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝1x的图象的公共点A，B的横坐标，而Ax1，1x1，Bx2，1x2两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.811．B【解析】由题意知，f(x)＝sin(ωx＋φ)，∵f(0)＝32，φ∈π2，π，∴φ＝2π3，∵x∈[0，2π]，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，∴5π2≤2πω＋2π37π2，∴1112≤ω1712.12．D【解析】由题意得，f′(x)＝ex－a＝0在()－1，1上有解，∵f′(x)在()－1，1上单调递增，∴1eae，又∵f(x)0恰好有唯一整数解，即exax＋1有唯一整数解．设g(x)＝ex，h(x)＝ax＋1，结合两函数的图象可知：①若1ae，则唯一整数解为1，故应满足g（1）h（1），g（2）≥h（2），∴e－1a≤e2－12，故e－1ae；②若1ea1，则唯一整数解为－1，故应满足g（－1）h（－1），g（－2）≥h（－2），∴e2－12e2≤ae－1e，故e2－12e2≤ae－1e，由①②得a的取值范围为e2－12e2，e－1e∪()e－1，e.二、填空题13．2【解析】二项式ax－1x6的展开式的通项是Tr＋1＝Cr6·(ax)6－r·－1xr＝Cr6·a6－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式