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专题四反比例函数综合题反比例函数综合题是河南中考中的必考题型，分值为3～12分，考查的类型有：①反比例函数与一次函数结合(如2017年、2013年、2011年、2010年)，涉及的问题有：求函数的解析式，求面积，求自变量的取值范围；②反比例函数与几何图形结合(如2014年)，涉及的问题有：求函数的解析式，求自变量的取值范围，判断线段的关系等．类型1反比例函数与一次函数结合类型2反比例函数与几何图形结合反比例函数与一次函数结合类型1(2017·菏泽)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ax的图象在第一象限交于A，B两点，B点的坐标为(3,2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC＝CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积．【解析】(1)将B点的坐标代入反比例函数的表达式中，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式．求得A点的坐标，将A，B两点的坐标代入一次函数的表达式中，利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；(2)过点A作AF⊥x轴，交DB于点E，交x轴于点F，由已知条件可求得AF，CB的长．由图可知△AOB的面积可分为△ACB和△COB的面积之和，利用三角形的面积公式，可用AF，CB表示出△AOB的面积，从而可得到△AOB的面积．解：(1)将B(3,2)代入反比例函数y＝ax，得2＝a3，解得a＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6x.∵BD⊥y轴，B(3,2)，∴yC＝yB＝2.∵OC＝CA，∴yA＝2yC＝4.将y＝4代入y＝6x，解得x＝32，∴A点的坐标为(32，4)．将B(3,2)，A(32，4)代入一次函数y＝kx＋b，得2＝3k＋b，4＝32k＋b，解得k＝－43，b＝6.∴一次函数的表达式为y＝－43x＋6；(2)过A点作AF⊥x轴，交DB于点E，交x轴于点F，如解图所示．设直线OA的表达式为y＝mx，将A(32，4)代入y＝mx，得4＝32m，解得m＝83.∴直线OA的表达式为y＝83x.将y＝2代入y＝83x，解得x＝34，∴xC＝34，∴BC＝xB－xC＝94.∵A(32，4)，∴AF＝4.易得OD＝EF，∴S△AOB＝S△COB＋S△ACB＝12CB·OD＋12CB·AE＝12CB·AF＝12×94×4＝92.对于反比例函数与一次函数的综合题，常涉及以下几个方面：1.确定函数的解析式：当已知函数y＝ax＋b及y＝kx的图象上的一个交点A的坐标及交点B的横纵坐标，确定两个函数的解析式时，可先将点A的坐标代入反比例函数的解析式中，从而得到y＝kx，再将点B的横纵坐标代入y＝kx，得到点B的坐标，然后利用A，B的坐标，根据待定系数法即可确定一次函数y＝ax＋b的解析式.2.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度，对于不易直接求的面积往往可以分割为较易求的三角形面积进行相关转化；②也要注意反比例函数中k的几何意义，过反比例函数图象上任意一点分别作x轴，y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|或过曲线上任意一点引x轴，y轴的垂线，所得的三角形的面积为12|k|；③涉及不规则图形的面积时，应观察图象，把它分成几个规则图形的面积的和差的形式求解.反比例函数与几何图形结合类型2如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为(4,0)，顶点G的坐标为(0,2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A.(1)求图象经过点A的反比例函数的解析式；(2)设(1)中的反比例函数图象交EF于点B，直接写出直线AB的解析式．【解析】(1)由题易证△OGA∽△OMN，得到相应线段的比例关系，得到AG的长，从而可求得A点的坐标．设出反比例函数的解析式，将A点的坐标代入反比例函数的解析式中，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；(2)由E点的坐标，可得B点的横坐标，将B点的横坐标代入反比例函数的解析式中，即可得到B点的坐标．设出直线AB的函数解析式，将A，B两点坐标代入直线AB的解析式中，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式．解：(1)∵四边形OEFG为矩形，E(4,0)，G(0,2)，∴OE＝GF＝4，OG＝EF＝2.由旋转的性质可知，MN＝OG＝EF＝2，OM＝OE＝GF＝4.∵∠OGA＝∠M＝90°，∠GOA＝∠MON，∴△OGA∽△OMN，∴AGNM＝OGOM，即AG2＝24，解得AG＝1.∴A(1,2)．设反比例函数的解析式为y＝kx，将A(1,2)代入y＝kx，得k＝2.∴图象经过点A的反比例函数的解析式为y＝2x；(2)y＝－12x＋52.对于反比例函数与几何图形的综合题，常涉及以下几个方面：1.求反比例函数的解析式；2.涉及求点的坐标：1求交点坐标，应与图象联系在一起，观察图象，得到该点的横坐标或纵坐标，代入已知的解析式中即可求解；2给出图形的面积求点的坐标，根据解析式设出该点只含一个未知数的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解.1．(2017·宜宾)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A(－3，m＋8)，B(n，－6)两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．解：(1)将A(－3，m＋8)代入反比例函数y＝mx，得m－3＝m＋8，解得m＝－6.∴反比例函数的解析式为y＝－6x.∴点A的坐标为(－3,2)．将B(n，－6)代入y＝－6x，得－6＝－6n，解得n＝1.∴点B的坐标为(1，－6)．将A(－3,2)，B(1，－6)代入y＝kx＋b，得－3k＋b＝2，k＋b＝－6，解得k＝－2，b＝－4.∴一次函数的解析式为y＝－2x－4；(2)设AB与x轴相交于点C，如解图所示．在y＝－2x－4中，令y＝0，得x＝－2，∴点C的坐标为(－2,0)，∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12OC·yA＋12OC·|yB|＝12×2×2＋12×2×6＝2＋6＝8.2．(2017·泸州)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(2，－6)，且与反比例函数y＝－12x的图象交于点B(a,4)．(1)求一次函数的解析式；(2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x＋b1(k1≠0)，l与反比例函数y2＝6x的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．解：(1)∵反比例函数y＝－12x的图象过点B(a,4)，∴4＝－12a，解得a＝－3.∴点B的坐标为(－3,4)．将A(2，－6)，B(－3,4)代入y＝kx＋b，得2k＋b＝－6，－3k＋b＝4，解得k＝－2，b＝－2.∴一次函数的解析式为y＝－2x－2；(2)直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为y1＝－2x＋8.联立直线l和反比例函数y2的解析式，得y1＝－2x＋8，y2＝6x，解得x3＝1，y3＝6，x4＝3，y4＝2.∴直线l与反比例函数y2的图象的交点坐标为(1,6)和(3,2)．画出函数图象，如解图所示．观察函数图象可知，当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数y2的图象在直线l的上方，∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3.3．(2017·重庆B卷)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝45，cos∠ACH＝55，点B的坐标为(4，n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△BCH的面积．解：(1)∵AH⊥x轴于点H，AC＝45，cos∠ACH＝55，∴HCAC＝55＝HC45，解得HC＝4.∴AH＝AC2－HC2＝8.∵点O是线段CH的中点，∴HO＝CO＝2，∴A(－2,8)．将A(－2,8)代入反比例函数y＝kx，得k＝－16.∴反比例函数的解析式为y＝－16x.将B(4，n)代入y＝－16x，得n＝－4，∴B(4，－4)．将A(－2,8)，B(4，－4)代入y＝ax＋b，得－2a＋b＝8，4a＋b＝－4，解得a＝－2，b＝4.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4；(2)由(1)得，S△BCH＝12CH·|yB|＝12×4×4＝8.4．(2017·安顺)已知反比例函数y1＝kx的图象与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1,4)和点B(m，－2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．解：(1)∵A(1,4)在反比例函数的图象上，∴将A(1,4)代入反比例函数y1＝kx，得4＝k1，解得k＝4.∴反比例函数的表达式为y1＝4x.又∵B(m，－2)在反比例函数的图象上，∴－2＝4m，解得m＝－2，即B(－2，－2)．将A(1,4)，B(－2，－2)代入y2＝ax＋b中，得a＋b＝4，－2a＋b＝－2，解得a＝2，b＝2.∴一次函数的表达式为y2＝2x＋2；(2)根据图象得－2＜x＜0或x＞1.5．(2017·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝12x的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A(－a,2)，B两点．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．解：(1)将A(a，－2)代入y＝12x，得a＝－4.∴A(－4，－2)．将A(－4，－2)代入y＝kx，得k＝8.∴反比例函数的表达式为y＝8x.联立正比例函数和反比例函数的表达式，得y＝8x，y＝12x，解得x＝4，y＝2或x＝－4，y＝－2.∵B点在第一象限，∴B(4,2)；(2)过点P作PE∥y轴，交直线AB于点C，连接PO，如解图所示．设P(m，8m)，则C(m，12m)，∴S△POC＝12OE·PC＝12xC·|yC－yP|＝12·m·|12m－8m|＝3，即|12m2－8|＝6.当m22－8＝6时，解得m＝27或m＝－27(舍去)．当8－12m2＝6时，解得m＝2或m＝－2(舍去)．∴点P的坐标为(27，477)或(2,4)．6．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3交y轴于点A，交反比例函数y＝kx(x＜0)的图象于点D，y＝kx(x＜0)的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD.(1)求反比例函数y＝kx的表达式；(2)求△AOD的面积．解：(1)∵矩形OABC的面积为4，点B在反比例函数的图象上，且反比例函数的图象在第二象限，∴k＝－4，∴反比例函数的表达式为y＝－4x；(2)∵直线y＝－x＋3交y轴于点A，∴点A的坐标为(0,3)，∴OA＝3.联立直线AD和反比例函数的表达式，得y＝－x＋3，y＝－4x，解得x1＝4，y1＝－1，x2＝－1，y2＝4.∵点D在第二象限，∴点D的坐标为(－1,4)．∴S△AOD＝12OA·|xD|＝12×3×1＝32.7．(2017·济南)如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2,1)，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点B.(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；(2)如图2，直线MN分别与x轴，y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；(3)如图3，将线段OA延长交y＝kx(x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴，y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．解：(1)延长BA交x轴于点P，如解图1所示，则AP⊥x轴．∵A(2,1)，∴AP＝1，OP＝2.∵AB＝OC＝3，∴B(2,4)．将B(2,4)代入反比例函数y＝kx(x＞0)，得4＝k2，解得k＝8.∴反比例函数的关系式为y＝