电路分析基础-讲义-06

退出开始§6-1二阶电路的微分方程同时含有一个电容元件和一个电感元件的二阶动态电路有两种最简单的结构形式，即RLC并联电路和RLC串联电路。我们先从RLC并联电路着手进行研究，RLC串联电路的特性可根据对偶性得出。如下图所示RLC并联电路，根据KCL可列出方程：s()ε()ittRCLCiLiRi二阶电路的结构形式s()()()()RLCitititits()()()()RLCitititit将元件的VCR带入上式，并以电感电流作为状态变量，整理后可得：2s2d()d()()ddLLLititLLCititRt这是一个二阶常系数线性微分方程，如果电容和电感元件的初始状态不为零，即(0)0Cu0)0(Li，，则解上述方程将得到电路的全响应。二阶电路的微分方程退出开始§6-2RLC并联电路的零输入响应求RLC并联电路的零输入响应，电路的微分方程是一个二阶齐次微分方程。即：22d()d()()0ddLLLititLLCittRt其特征方程为：210LLCssR两个特征根为：2221,20111()22sRCRCLC12RC称为电路的阻尼系数01LC称为电路的谐振频率二阶电路微分方程的求解方程的解具有如下形式：1212()eeststLitAA电容元件的初始状态不为零，电感元件的初始状态为零，则有：1211220(0)CAAusAsAL解得：112212(0)()(0)()CCuALssuALss二阶电路微分方程解的形式(0)(0)01(0)(0)0LLLCiiiuL所以1212(0)()(ee)()ststCLuitLss特征根将有4种可能的情况，即：（1）不相等的负实数根；（2）共轭复根（实部不为零）；（3）相等的实数根；（4）共轭虚根。我们将对应这四种特征根的电路状态分别称为过阻尼状态、欠阻尼状态、临界阻尼状态和无阻尼状态，下面分别对其进行讨论。1过阻尼状态当211()02RCLC，即12LRC时，0特征根为两个不相等的负实数根，响应为形如式（6－4）的指数形式，是一个非振荡过程。，此时二阶电路微分方程解的讨论（6－4）21,2111()22sRCRCLC例题1如下图所示为0t时的RLC并联电路，已知L=5H，R=8Ω，C=0.0125F，(0)30VCu(0)0Li0t()Lit()ut，，(0)0Li试求时的和并绘出其波形。LiLiRRCiC+-u解0t时以()Lit为变量的微分方程为：（a）22d()d()()0ddLLLititLLCittRt例题122d()d()()0ddLLLititLLCittRt因为115810220.0125LRC不相等的负实根。将元件参数带入微分方程并整理可得：，所以特征根为两个22d()d()1016()0ddLLLititittt特征方程为：210160ss求得特征根为：12s28s所以12282812(0)30()(ee)(ee)eeA()5(28)ststttttCLuitLss例题12882d()()5(2e8e)40e10eVdttttLitutLt()Lit()ut和的仿真波形如图（b）所示。为了便于观察曲线，图中电流的数值扩大了10倍。（b）LiLiRRCiC+-u（a）2欠阻尼状态211()02RCLC当，即12LRC方程的解具有如下一般形式：1d2d()e(cossin)tLitAtAtdddd(j)()dddd(0)(0)ee()(ee)ej2j2(0)esinjtjtatajttCCLtCuuitLLutL可得：二阶电路微分方程解的讨论（2）时：221,20dsjj1212(0)()(ee)()ststCLuitLsscos,sin22jjjjeeeej()Lit和()ut并绘出其波形。仍以例1为例，值改为R将电阻=16Ω，其他参数保持不变，再求例题2解在这种情况下，1151610220.0125LRC所以特征根为一对共轭复根。将元件参数带入微分方程并整理可得：22d()d()516()0ddLLLititittt特征方程为：25160ss求得特征根为：12.5j3.12s22.5j3.12sLiLiRRCiC+-u例题22.5dd2.5(0)30()esinesin3.123.1251.92esin3.12AttCLtuitttLt2.52.52.5d()()51.92[(2.5)esin3.123.12ecos3.12]d9.6e(3.12cos3.122.5sin3.12)VttLtitutLttttt()Lit()ut和的仿真波形为了便于观察曲线，图中电流的数值扩大了10倍。如右图所示。所以3临界阻尼状态211()02RCLC当，即12LRC时12()eettLitAAt由初始条件可知：120(0)CAuAL所以(0)()etCLuittL二阶电路微分方程解的讨论（3）(0)(0)01(0)(0)0LLLCiiiuL例题3()Lit和()ut并绘出其波形。仍以例1为例，值改为R将电阻=10Ω，其他参数保持不变，再求解：在这种情况下，根为两个相等的负实根。将元件参数带入微分15101020.0125R所以特征方程并整理可得：22d()d()816()0ddLLLititittt特征方程为：28160ss求得特征根为：124ss例题344(0)30()ee6eA5tttCLuittttL444d()()56(e4e)30(14)eVdtttLitutLttt()Lit()ut和的仿真波形为了便于观察曲线，图中电流的数值扩大了10倍。如右图所示。所以4无阻尼状态如果电阻元件的电导为零，此时电路仅由电容和电感组1,201jsLC成，特征根为是一对共轭虚根，方程的解具有如下形式：00(0)()sinCLuittL可见，这是一个等幅振荡过程二阶电路微分方程解的讨论（4）例题4()Lit和()ut并绘出其波形。仍以例1为例，将电阻元件的电导值改为G=0S其他参数保持不变，再求解：在这种情况下，微分方程退化为：22d()()0dLLitLCitt将元件参数带入微分方程并整理可得：22d()16()0dLLititt特征方程为：2160s特征根为一对共轭虚根：1j4s2j4s例题400(0)30()sinsin41.5sin4A45CLuittttLd()()51.54cos430cos4VdLitutLttt()Lit()ut和的仿真波形为了便于观察曲线，图中电流的数值扩大了10倍。如右图所示。所以例题4由于电路中没有电阻元件，即没有耗能元件，所以，()Lit和()ut都按照正弦规律变化，能量在电容和电感元件之间进行存储和释放的来回变换，没有能量的损耗。dd(0)()esintCLuittL零输入响应电路方程：小结22d()d()()0ddLLLititLLCittRt1212(0)()(ee)()ststCLuitLss2221,20111()22sRCRCLC2、欠阻尼电路方程：(0)()etCLuittL3、临界阻尼电路方程：1、过阻尼电路方程：00(0)()sinCLuittL4、无阻尼电路方程：小结1、过阻尼：12LRC无振荡过程2、临界阻尼：12LRC无振荡过程3、欠阻尼：12LRC衰减振荡过程4、无阻尼：0G等副振荡过程退出开始§6-3RLC并联电路的零状态响应和全响应1零状态响应假设动态元件的初始状态为零，即(0)0Cu0)0(Lis()it外加激励为，，，则此时的响应为零状态响应。方程的解由特解p()Lith()Lit和通解两部分组成。p()LitB12hp12()()()eeststLLLitititAAB求出响应后，再根据初始条件(0)0Li'1(0)(0)0LCiuL，确定两个待定系数A1和A2。1.一阶电路的零状态响应s()ε()ittRCLCiLiRis()()()()RLCitititit2全响应再有一种就是求解微分方程的经典方法，即：全响应＝通解＋特解当动态元件的初始状态不为零，且有外加激励作用时，电路的响应为全响应。求电路的全响应有两种方法：一种就是零输入零状态的方法，即：全响应＝零输入响应＋零状态响应1.一阶电路的全响应例题1如图所示电路，已知s2[1ε()]Ait，求0t时的()Lit和()Cut并绘出其波形图。si100200mH+-LiCu250μF解t0时：(0)(0)2ALsii(0)0Cu0t时，以()Lit为变量的电路方程为：22d()d()()4ddLLLititLLCittRt例题1因为36112001010014.142225010LRC，所以特征根为一对共轭复根，电路处于欠阻尼状态。带入元件参数并整理得：22d()d()4020000()80000ddLLLititittt特征方程为：240200000ss求得特征根为：120j140s220j140s所以通解为：20h12()e(cos140sin140)tLitAtAt例题1根据激励，设特解为p()LitB，带入微分方程可求得：p()4ALitB()Lit的全响应为：20hp12()()()e(cos140sin140)4tLLLitititAtAt将初始条件(0)(0)2ALLii和'11(0)(0)(0)0LCCiuuLL带入上式得：11242201400AAA解方程可求得：12227AA例题1所以20202()e(2cos140sin140)474e(2cos1400.29sin140)AtLtittttt3202020d()2()()20010[20e(2cos140sin140)d72e(2140sin140140cos140)]757.14esin140VtLCLttitututLtttttt例题1()Lit()Cut和的仿真波形如图所示。为了便于观察曲线，图中电流的非直流部分数值扩大了10倍。退出开始§6-6工程应用——电火花加工电路电火花加工是电加工行业中应用最广泛的一种加工方法。它通过工具电极和工件之间不断产生脉冲性的火花放电，从而产生局部瞬时高温，这足以使工件局部熔化，所以能把金属蚀除下来。下图所示为电火花加工器的原理电路，+-12RLC300V+-Cu)0=(St电火花加工它是基于RLC串联电路暂态响应的原理而工作的。其中1和2分别为工具电极和被加工的工件。工具电极和工件间有绝缘介质，具有非线性电阻性质，当它没有被击穿时，电阻近似为无穷大，而一旦击穿，电阻即近似为零。电火花加工+-12RLC300V+-Cu)0=(St电火花加工+-12RLC300V+-Cu)0=(St电路的工作原理如下：如果(0)0Cu(0)0Li，，S闭合后电容被充电，当电容电压达到工具电极和金属工件间绝缘介质的击穿电压时，即产生电火花，电容瞬时放电，电容电压很快降到接近于零，此时工具电极和金属工件间的绝缘介质迅速恢复绝缘性，把放电电流切断，电源再次对电容