第一类曲面积分

1第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分．一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件的物体，在点(,,)xyz处的密度为zyxf,,，求此物体的质量．求解的方法是,将曲面分为若干个小块i(1,2,in)，其面积分别记为iS(1,2,in)，在小块曲面i上任意取一点iiiM,,，若密度函数zyxf,,是连续变化的则可以用点iiiM,,处的密度近似小块iS上的密度．于是小块i的质量为iiif,,iS，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即niiiiiSfm1,,当n个小的曲面的直径的最大值0时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即niiiiiSfm10,,lim．总之,以上解决问题的方法就是:先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值.这同积分思想相一致.为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3设函数zyxf,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)上的有界函数．将曲面分为若干个小块i(1,2,,in)，其面积分别记为niSi,...,2,1，在小块曲面i上任意取一点iiiM,,，若极限niiiiiSf10,,lim存在，则称此极限值为函数zyxf,,在曲面上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为dszyxf,,．即dszyxf,,=niiiiiSf10,,lim．其中表示所有小曲面i的最大直径,zyxf,,称为被积函数,称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如21)dszyxgdszyxfdszyxgzyxf,,,,,,,,；2)dszyxfkdszyxkf,,,,；3)2121,,,,,,dszyxfdszyxfdszyxf．二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数yxzz,确定，曲面在坐标面xoy上的投影为xyD，函数yxzz,在xyD具有连续偏导数（即曲面是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有iiiiniSfdSzyxf,,lim,,10．设对曲面的第i块i在坐标面xoy上的投影为i，则iS可以表示为下面的二重积分：idxdyzyxfzyxfSyxi,,,,122有二重积分的中值定理有iiiiyiiixizzS,,,,122其中iii,,是小曲面iS上的任意一点，ii,为i内任意一点，所以iiinifdSzyxf,,lim,,10iiiiyiiixzz,,,,122注意到iiiz,，从而得到二重积分的计算公式xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf,,1,,,,,22．这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面的方程是yxzz,，曲面的面积元素为dxdyzzdSyx221，曲面在坐标面XOY上的投影是xyD，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1)用yx,的函数yxzz,代替z；2)用dxdyzzyx221换dS；3)将曲面投影到坐标面XOY上得到投影xyD．3简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16计算曲面积分dSz，其中曲面是由平面ahhz0截球面2222azyx的顶部．图13-16解：曲面的方程为222yxaz，它在坐标面xoy上的投影为圆形的闭区域：2222hayx．222221yxaazzyx，所以dSz＝222xyDadxdyaxy利用极坐标计算上面的积分，得到2222222220022012ln2ln2xyahDahdSardrdardrddzararaaarah例13.17计算曲面积分21yxdS，其中曲面是由平面1zyx以及三个坐标面所围成的四面体的表面．4图13-17解：如上图，曲面由曲面4321,,,组成，其中4321,,,分别是平面1zyx，0,0,0zyx上的部分．212ln31311021021xyxdydxyxdS；2ln1111021022zydydzyxdS；2ln1111021023zxdxdzyxdS；212ln111021024xyxdydxyxdS．所以2ln13233212ln3212ln2ln12ln112yxdS习题13.41.计算()xyzdS.其中为上半球面222zaxy.2.计算||IxyzdS.其中为曲面22zxy介于二平面0,1zz之间的部分.3.计算22()xydS.其中是锥面22zxy及平面1z所围成的区域的整个边界曲面.4.求抛物面壳221()2zxy(01)z的质量,此壳的面密度的大小为z.55.求面密度为0的均匀半球壳2222xyza(0)z对于z轴的转动惯量.6.计算21(1)dSxy.其中为四面体1xyz,0x,0y及0z的边界面.参考答案1.3a2.125514203.2124.2(631)155.4043a6.33(31)ln22.第五节对坐标的曲面积分一对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明．1.曲面的侧在曲面上的任意一点P处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n，当点P在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n也随着连续变动，这种连续变动又回到P时，法线向量n总是不改变方向，则称曲面是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的Mobius带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的.例如曲面yxzz,，如果z轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面yxzz,，若取定的法向量n是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面．2.流向曲面一侧的流量6设稳定的不可压缩的液体以速度kzyxRjzyxQizyxPv,,,,,,流向有向曲面，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数zyxRzyxQzyxP,,,,,,,,都是曲面上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v，又设n是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A，斜高为||v的斜柱体，其体积即流量为nvAvAVcos这就是通过闭区域A流向n所指的一侧的流量．对于一般的曲面，我们可以将它划分为若干个小块i，在是光滑的和v是连续的前提下，只要i的直径很小，我们就可以用i上任意一点iii,,处的流速kRjQiPvviiiiiiiiiiiii,,,,,,,,近似替代i上各点处的流速，以此点处的曲面的单位法向量kjiniiicoscoscos代替i上各点处的单位向量，从而得到通过i流向指定侧的流量的近似值为iiiSnvni,...,2,1，（iS为i的面积）于是通过曲面指定侧的流量近似地为iiiiiniiiiiiiiiiniiiSRQPSnv]cos,,cos,,cos,,[11注意到yziiiSScos；zxiiiSScos；xyiiiSScos．因此上式可以写为7],,,,,,[1xyiiiinixziiiiyziiiiSRSQSP当所有小块的直径的最大值0时，上面和的极限就是流量的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义．3.对坐标的曲面积分的定义定义13.4设是逐片光滑的有向曲面，函数zyxR,,在曲面上有界，将划分为若干个小块i，i在坐标面xoy上的投影为xyiS，取i中的任意一点(,,)iii，若各个小块的直径的最大值0时，极限nixyiiiiSR10,,lim存在，称此极限为函数zyxR,,在曲面上对坐标yx,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为dxdyzyxR,,，即dxdyzyxR,,＝nixyiiiiSR10,,lim．类似地，可以定义函数zyxP,,在曲面上对坐标zy,的曲面积分（或第二类曲面积分）dydzzyxP,,，以及函数zyxQ,,在曲面上对坐标zx,的曲面积分（或第二类曲面积分）dxdzzyxQ,,如下：dydzzyxP,,＝niyziiiiSP10,,lim；dxdzzyxQ,,＝nizxiiiiSQ10,,lim．在应用中通常是上面三种积分的和，即dydzzyxP,,＋dxdzzyxQ,,＋dxdyzyxR,,，简记为dxdyzyxPdxdzzyxQdydzzyxP,,,,,,．如果是有向封闭曲面，通常记为dxdyzyxPdxdzzyxQdydzzyxP,,,,,,，并规定取曲面的外侧．84.性质1)对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:1221.,,,,,,PdxdyQdxdzPdydzPdxdyQdxdzPdydzdxdyzyxPdxdzzyxQdydzzyxP2)设时有向曲面,表示与取相反侧的曲面,则有dxdyzyxPdxdzzyxQdydzzyxPdxdyzyxPdxdzzyxQdydzzyxP,,,,,,,,,,,,二对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法下面以计算曲面积分dxdyzyxR,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面的上侧,且曲面由方程yxzz,给出,那么曲面的法向量n与z轴的正方向的夹角为锐角，曲面的面积元素dS在坐标面xoy上的投影dxdy为正值．若xyD为曲面在坐标面xoy上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义xyiiiiniSRdxdyzyxR,,lim,,10可以得到xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,,,,,．如果积分曲面取的下侧，那么曲面的法向量n与z轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面在坐标面xoy上的投影dxdy为负值，从而有xyDdxdyyxzy