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2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题(共12小题)1．已知复数z＝（1﹣a）+（a2﹣1）i（i为虚数单位，a＞l），则z在复平面内的对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|3x＜x+4}，B＝（x|x2﹣8x+7＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（2，7）C．（2，+∞）D．（1，2）3．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A．58厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米4．函数f（x）＝在[﹣，]上的图象大致为（）A．B．C．D．5．若（l+ax）（l+x）5的展开式中x2，y3的系数之和为﹣10，则实数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣lD．16．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a7．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．﹣B．C．D．8．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝，S3＝，则a1a2…an的最小值为（）A．（）2B．（）3C．（）4D．（）510．已知点P是双曲线C：﹣＝l（a＞0，b＞0，c＝）上一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为c2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．已知f（x）＝1﹣2cos2（ωx+）（ω＞0）．给出下列判断：①若f（xl）＝l，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝2；②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[，]④若f（x）在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，]其中，判断正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．如图，在平面四边形ABCD中，满足AB＝BC，CD＝AD，且AB+AD＝10，BD＝8．沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC＝2，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值为（）A．12B．12C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．14．若∃x0∈R，x02﹣a+5＜0为假，则实数a的取值范围为．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为．16．已知抛物线C：y2＝4x，点P为抛物线C上一动点，过点P作圆M：（x﹣3）2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则线段AB长度的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinB＝bsin（﹣C）+b．（l）求角C的大小；（2）若c＝，a+b＝3，求AB边上的高．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝．△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC；（2）若平面EBC与平面PAD的交线为l，求二面角P﹣l﹣B的正弦值．19．一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分．（1）设抛掷4次的得分为X，求变量X的分布列和数学期望．（2）当游戏得分为n（x∈N*）时，游戏停止，记得n分的概率和为Qn，Q1＝．①求Q2；②当n∈N*时，记An＝Qn+1+Qn，Bn＝Qn+1﹣Qn，证明：数列{An}为常数列，数列{Bn}为等比数列．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0））的离心率为，且过点（，）．点P在第一象限，A为左顶点．B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若CD∥AB，求点P的坐标．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+ax（a∈R）．（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的极值点为x0，当a变化时，点（x0，f（x0））构成曲线M．证明：过原点的任意直线y＝kx与曲线M有且仅有一个公共点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（m为参数），直线l2的参数方程为（n为参数）．若直l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（l）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l3的极坐标方程为θ＝α（ρ≥0），tanα＝（0＜α＜），点Q为射线l3与曲线C的交点，求点Q的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．（l）求不等式f（x）＜x+3的解集；（2）若不等式m﹣x2﹣2x≤f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝（1﹣a）+（a2﹣1）i（i为虚数单位，a＞l），则z在复平面内的对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由a＞1可得复数z的实部与虚部的范围，则答案可求．解：当a＞1时，1﹣a＜0，a2﹣1＞0，∴z在复平面内的对应点所在的象限为第二象限．故选：B．2．已知集合A＝{x|3x＜x+4}，B＝（x|x2﹣8x+7＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（2，7）C．（2，+∞）D．（1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜7}，∴A∩B＝（1，2）．故选：D．3．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A．58厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【分析】弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，用弧长近似代替弦长，计算导线的长度即可．解：因为弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为×30＝20π＝20×3.14≈63（厘米）．故选：B．4．函数f（x）＝在[﹣，]上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用排除法分析：先分析函数的奇偶性，再分析在区间（0，）上，f（x）＞0，由排除法分析可得答案．解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则[﹣，]上，f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，又由在区间（0，）上，cosx＞0，2x＞0，2﹣x＞0，则f（x）＞0，排除D；故选：C．5．若（l+ax）（l+x）5的展开式中x2，y3的系数之和为﹣10，则实数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣lD．1【分析】先求（l+x）5的展开式的通项公式，进而求得结论．解：因为（l+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1＝•xr；可得展开式中x，x2，x3的系数分别为：，，；故（l+ax）（l+x）5的展开式中x2的系数为：+a•＝10+5a；故（l+ax）（l+x）5的展开式中x3的系数为：a•+＝10+10a；∴10+5a+10+10a＝20+15a＝﹣10；∴a＝﹣2．故选：B．6．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围即可比较．解：因为a＝log3∈（0，），b＝ln3＞1，c＝2﹣0.99＞2﹣1＝，故b＞c＞a．故选：A．7．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】根据循环体的算法功能可以看出，这是一个对数列求前五项和的程序框图，计算可求解．解：由题意得＝．故选：D．8．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率．解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），而加数全为质数的有（3，3），∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为P＝．故选：A．9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝，S3＝，则a1a2…an的最小值为（）A．（）2B．（）3C．（）4D．（）5【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求a1，q，进而可求通项公式，然后结合项的特点可求．解：由题意可得，，解可得，或（舍），故an＝，当1≤n≤5时，an＜1，当n≥6，an＞1，则a1a2…an的最小值为a1a2…a5＝＝．故选：D．10．已知点P是双曲线C：﹣＝l（a＞0，b＞0，c＝）上一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为c2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】双曲线C：﹣＝l（a＞0，b＞0的两条渐近线的方程为bx±ay＝0，设P（x，y），利用点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为||＝，求出a、c关系，即可求出双曲线的离心率．解：双曲线C：﹣＝l（a＞0，b＞0的两条渐近线的方程为bx±ay＝0，设P（x，y），利用点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为||＝，可得||＝⇒a＝b，∴双曲线的离心率e＝．故选：A．11．已知f（x）＝1﹣2cos2（ωx+）（ω＞0）．给出下列判断：①若f（xl）＝l，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝2；②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[，]④若f（x）在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（0，]其中，判断正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先将f（x）化简，对于①由条件知，周期为，然后求出ω；对于②由条件可得＝+kπ（k∈Z），然后求出ω＝﹣1﹣3k（k∈Z）；对于③由条件，得2π﹣，然后求出ω的范围；对于④由条件，得，然后求出ω的范围，再判断命题是否成立即可．解：∵，∴周期．①由条件知，周期为，∴，故①错误；②函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于y轴对称，则，∴ω＝﹣1﹣3k（k∈Z），故对任意整数k，ω∉（0，2），故②错误；③由条件，得，∴，故③正确；④由条件，得，∴，又ω＞0，∴，故④正确．故选：B．12．如图，在平面四边形ABCD中，满足AB＝BC，CD＝AD，且AB+AD＝10，BD＝8．沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC＝2，则三