求数列通项公式ppt

求数列的通项公式通项公式：如果数列｛an｝的前n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,即注意：1.通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；2.通项公式以数列的项数n为唯一变量；3.并非每个数列都存在通项公式.例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。1、11113,5,7,9,481632;12112nnna.,,,,35624515483322、1-111-2）（）（nnann已知数列的前几项，观察数列特征，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。一、观察法1、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意观察各项与它的序号的关系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)91这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系)(*Nn练习：12111234(2)12132468211114234512482(6)14916711111nnnnnnnnn;(an)(an),,,(an),,(a)n,,,(a),,,,;(an)(),,,,.(a()（）自然数列：，，，，奇数列：，3,5,7,；（）偶数列：，；（）倒数列：1,，；（）数列：；数列：数列：或11nna())要熟知一些常见数列的通项公式.二、公式法：(1)等差数列通项公式：(2)等比数列通项公式：例如：(1)(2)1113nnnnaaaaa已知数列，，求1113nnnnaaaaa已知数列，，求三、定义法：)2()1(11nSSnSannnnnnnaSSa求出方法一：直接利用1nnnnnnnnaSSSaSSa再求，的递推关系式，求出与得出，消去方法二：利用11运用例2.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式因此an=1(n=1)4n－2(n≥2,)*nN变式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）*nN111111112.nnnnnnnnnnnnnnnnaSaaSaSaaaanaaaana例2：在数列中，已知2（n+2)，求通项公式解：2（n+2)2（n-1+2)（n+2)（n+1)（n+1)n+1再用逐商叠乘法求出数列的通项公式。例3.nnnnnnnaSaanSaa求且项的和，是数列的前中，已知数列,21,0,211112,0,0,11S11S1S,1)2(,S21,21:11221121212nnaaannnSSannSSannnaSSnSSaaaSaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn的通项公式是数列也适合上式时，而时，）（，，首项为是等差数列，公差为数列由已知代入上式化简得又得由解例4.例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3•••an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+•••+(a2－a1)+a1=(n－1)+(n－2)+•••+2+1+1212122­nnnn四、累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=1an+1－an=n(n∈N*)（1）注意讨论首项;(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式)(1nfaann求法：累加法.),2(12,2,1,}{11的通项公式求数列有时当已知中在数列nnaanaannn练习：五、累乘法(形如an+1=f(n)•an型)例6.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－nan]=0∵an+1+an0∴(n≥1)11nnaann1213223121...nnnnnnn1∴an=...112aaa211nnnnaaaa注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=nan练习1：12,3,.nnnnnaaaaa1已知中，求通项1234123123423221232113,3,3,3.......3,33333323nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323nnnnnna五、累乘法(形如an+1=f(n)•an型)练习2五、累乘法(形如an+1=f(n)•an型)六、构造法题型1.已知数列{an}的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.例7.已知，根据条件,确定数列的通项公式.11a132nnaa{}na方法①：猜想证明：由及,计算出,,,,132nnaa11a25a317a453a5161a1231nna归纳猜想：;然后用数学归纳法证明猜想正确(略).六、构造法题型1.已知数列{an}的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.例7.已知，根据条件,确定数列的通项公式.11a132nnaa{}na方法②迭代法：。12323(32)2nnnaaa22233623(32)62nnaa32332362na1232101132(33333)231nnnna六、构造法题型1.已知数列{an}的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.例7.已知，根据条件,确定数列的通项公式.11a132nnaa{}na方法③构造法：根据构造一个新数列设，则，∴，∴，即，∴为等比数列，首项为，公比为3.∴，∴.132nnaa{}na13()nnaa132nnaa1113(1)nnaa1131nnaa{1}na112a1123nna1231nna1()11nnqqapapp六、构造法题型1.已知数列{an}的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.方法总结：利用待定系数法令an+=p(an-1+),得到从而构造出等比数列{},辅助求出{an}的通项公式1nqap1021()(,,,.)nnapafnqppq为题数且型常六、构造法na例8.已知数列中，11112122nnnaaanna，求34，132132136361611131)1(31232))1((3321133221233323),2)()1((31111111111nabbabbbbbbnabnanayxxyxnaaxyxnaanynxaxnannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为首项得等比数列为公比，以是以则令得与解：令1021()(,,,.)nnapafnqppq为题数且型常六、构造法na例8.已知数列中，11112122nnnaaanna，求34，1031(,,,.)nnnapaqqppq且题为常数型六、构造法11113210{},,.nnnnnaaaaa已知数列满足：求例11100()(,,,)nnnnnaaqqppqpppp也可化为为常数且【变式迁移】已知数列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式.nna21解：（1）方法1：（构造法）因为a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以当n≥2时，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以，所以，,1212111nnnaan,1212111nnnaan所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.nna21221na1)1(221nann已知数列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式.【变式迁移】例10：111,,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式题型4形如的递推式，可采用取倒数方法转化成为111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列1111(1)22121nnnnaaan1nnnmaapaq111nnmmaqap形如的递推式11nnnnaapaa例11：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求11111112211-211545-1(-2)-222245nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）题型5题型6取对数法：例12若数列{}中=3且（n是正整数），则它的通项公式是（2012年上海高考题）.na1a21nnaa123nna