浙江省2018年1月份普通高中学业水平考试数学试题

浙江省2018年1月份普通高中学业水平考试数学试题选择题部分一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1、设集合M={0,1,2}，则（）A.1∈MB.2MC.3∈MD.{0}∈M2、函数1yx的定义域是（）A.[0，+∞）B.[1，+∞）C.（－∞，0]D.（－∞，1]3、若关于x的不等式mx－20的解集是{x|x2}，则实数m等于（）A.－1B.－2C.1D.24、若对任意的实数k，直线y－2=k(x+1)恒经过定点M，则M的坐标是（）A.（1，2）B.（1，－2）C.（－1，2）D.（－1，－2）5、与角－6终边相同的角是（）A.56B.3C.116D.236、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（）（第6题图）A.B.C.D.7、以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A.x2+(y－1)2=2B.(x－1)2+y2=2C.x2+(y－1)2=4D.(x－1)2+y2=48、在数列{an}中，a1=1，an+1=3an(n∈N*)，则a4等于（）A.9B.10C.27D.819、函数yx的图象可能是（）OxyOxyOxyOxyA.B.C.D.10、设a,b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、设双曲线C：2221(0)3yxaa的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C的方程是（）A.221163yxB.221123yxC.22183yxD.22143yx12、设函数f(x)＝sinxcosx，x∈R，则函数f(x)的最小值是（）A.14B.12C.32D.－113、若函数f(x)=21xax(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A.1B.0C.－1D.±114、在空间中，设α，表示平面，m，n表示直线.则下列命题正确的是（）A.若m∥n，n⊥α，则m⊥αB.若α⊥，mα，则m⊥C.若m上有无数个点不在α内，则m∥αD.若m∥α，那么m与α内的任何直线平行15、在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A.19B.13C.3D.716、下列不等式成立的是（）A.1.221.23B.1.2－31.2－2C.log1.22log1.23D.log0.22log0.2317、设x0为方程2x+x=8的解.若x0∈(n,n+1)(n∈N*)，则n的值为（）A.1B.2C.3D.418、下列命题中，正确的是（）A.x0∈Z，x020B.x∈Z，x2≤0C.x0∈Z，x02=1D.x∈Z，x2≥119、若实数x,y满足不等式组020xyxy，则2y－x的最大值是（）A.－2B.－1C.1D.220、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（）A.15°B.30°C.45°D.60°EC1D1B1CA1DBA（第20题图）21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y（万元）与月份n近似地满足函数关系式y=an2+bn+c（如n=1表示1月份）.已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元.由此可预测4月份的产值为（）A.35万元B.37万元C.56万元D.79万元22、设数列{an}，{an2}(n∈N*)都是等差数列，若a1＝2，则a22+a33+a44+a55等于（）A.60B.62C.63D.6623、设椭圆：22221(0)yxabab的焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.1(0,)2B.1(0,)3C.1(,1)2D.1(,1)324、设函数()1xfxx，给出下列两个命题：①存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)2；②若f(a)=f(b)(a≠b)，则a+b4.其中判断正确的是（）A.①真，②真B.①真，②假C.①假，②真D.①假，②假25、如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A.(0,3]B.2(,2]2C.(3,23]D.（2，4]DBCACABD（第25题图）非选择题部分二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26、设函数f(x)=2,232,2xxxx，则f(3)的值为27、若球O的体积为36cm3，则它的半径等于cm.28、设圆C：x2+y2=1，直线l:x+y=2，则圆心C到直线l的距离等于.29、设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=3，则APAB的取值范围是30、设ave{a,b,c}表示实数a,b,c的平均数，max{a,b,c}表示实数a,b,c的最大值.设A=ave{112,,122xxx}，M=max{112,,122xxx}，若M=3|A－1|，则x的取值范围是三、解答题（共4小题，共30分）31、（本题7分）已知3sin,052，求cos和sin()4的值.32、（本题7分，有（A），（B）两题，任选其中一题完成，两题都做，以（A）题记分.）（A）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：BD⊥PC.FECDABP（第32题（A）图）（B）如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点D，E分别为线段PB，AB的中点.（1）求证：AC⊥平面PBC；（2）设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC=2，BC=2AC=23，求cosθ的值.DEPCBA（第32题（B）图）33、（本题8分）如图，设直线l:y=kx+2(k∈R)与抛物线C：y=x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限.（1）若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；（2）当k0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，若PQPR＝0，求直线l的方程.RPQOxy（第33题图）34、（本题8分）设函数f(x)=x2－ax+b,a,b∈R..（1）已知f(x)在区间(－∞,1)上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值.浙江省2018年1月份普通高中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（共25小题，1－15每小题2分，16－25每小题3分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）题号123456789101112131415答案ABCCCACCAADBBAD题号16171819202122232425答案BBCCBBADCA25题解答（1）由题意得，AD=CD=BD=212x，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE,CD,则DE=12AC=12，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD。∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1∴AE=2114x，AD=212x，在△ADE中：①221111224xx，②221111224xx，③x0；由①②③可得0x3.（2）如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D＝CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD＝90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD＝30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×33综上，x的取值范围为(0,3]，选A。MDEEDDBACACBACBB1图1图2图3▲对25题的本人想法（学业水平考试选择题的最后一题）折纸时得到灵感！这题应该是图2变化而来的吧。EDCAFB（图1）（图2）【分析】平面AEF是BD的垂面（如图1），翻折时AC至少得达到AF位置，此时必须∠CAD≥∠DAE，【解答】∠CAD≥∠DAE，∠CAD＝∠C=∠BAE≥∠DAE，∠CAD+∠DAE+∠BAE=90°≤3∠C,从而可得∠C≥30°，∠B≤60°，x=tanB≤3，故x的范围是(0,3]二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26、７27、３28、229、33[3,3]2230、{x|x=－4或x≥2}29题解答33()1322APABAOOPABAOABOPABOPABOPAB∴OP与AB共线时，OPAB能取得最值。①若OP与AB同向，则OPAB取得最大值，∴APAB取得最大值3313322②若OP与AB反向，则OPAB取得最小值，∴APAB取得最小值3313322∴APAB的取值范围是33[3,3]2230题解答由题意易得A=113x，故3|A-1|=|x|=,0,0xxxx,M=12,1211,122,2xxxxxx∵M=3|A－1|∴当x0时，－x=122x，得x=－4当0x1时，x=122x，得x=43，舍去当1x2时，x=112x，得x=2，舍去当x≥2时，x=x，恒成立综上所述，x=－4或x≥2注：此题数形结合更好得解。三、解答题（共4小题，共30分）31、（本题7分）已知3sin,052，求cos和sin()4的值.解：∵3sin,052∴2234cos1sin1()55∴227234sin()sincoscossin44452521032、（本题7分，有（A），（B）两题，任选其中一题完成，两题都做，以（A）题记分.）（A）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：BD⊥PC.FECDABP（第32题（A）图）（1）证明：∵菱形对角线AC与BD相交于点E∴AC与BD互相平分，即AE=CE，BE=DE又∵线段PD的中点为F∴EF为△PBD的中位线∴EF∥PB又EF平面PBC，PB平面PBC∴EF∥平面PBC（2）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，菱形ABCD中，AC⊥BD，BD平面ABCD∴BD⊥平面PAC∴BD⊥PC（B）如图，在三棱锥P－ABC中，，PC⊥平面ABC，.（1）求证：AC⊥平面PBC；（2）设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC=2，BC=2AC=23，求cosθ的值.DEPCBA（第32题（B）图）（1）证明：∵PC⊥平面ABC∴PC⊥AC，又∵PB⊥AC，PC∩PB=P∴AC⊥平面PBC（2）解：∵PC⊥平面ABC∴PC⊥AC，PC⊥BC，又AC⊥平面PBC∴AC⊥PC，AC⊥BC即CA，AB，CP互相垂直。如图，取BC的中点为F，连接DF,EF∵点D，E分别为线段PB，AB的中点∴EF∥AC，DE∥PA，DF∥PC∴EF⊥BC，DF⊥BC，DF⊥平面ABC，且EF＝12AC＝3，DF＝12PC=1，CF＝12CB=1∴22132CECFEF，∴BC=CE=BE=2∴△BCE是等边三角形过F用FM⊥CE交CE于M，连接DM,FMFDEPCBAM（第32题（B）图）∴222333712,1()22222FMDMDFFM∴3212coscos772MFDMFDM33、（本题8分）如图，设直线l:y=kx+2(k∈R)与抛物线C：y=x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限.（1）若点M是