10.4二项式定理二项式系数的性质上课

复习1、什么叫二项式定理？通项公式？)()(1110NnbCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnrrnrnrbaCT12、什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？二项式系数的性质(a+b)1………………………11(a+b)2…………………121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………………………rnrnrnCCC11mnnmnCC递推法2468101214161820369f(r)Orf(r)=r6C2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=r7C1.对称性展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值3.各二项式系数和nnnnnnCCCC2102二项式系数先增大后减小，中间取得最大值。2nnC当n是偶数时，中间的一项取得最大时；21nnC21nnC当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。实践1：写出在（a-b)7的展开式中，二项式系数最大的项？3437C4baT43475CbaT对比：写出在（a-b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？3437C4baT43475CbaT系数最大系数最小在(a+b)12的展开式中，与第二项的二项式系数相等的是第几项？实践2：在(a+b)12的展开式中，与第五项的二项式系数相等的是第几项？T5的二项式系数是412C812412CC812C二项式系数是的项是T9拓展：在（1-x)20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值？2r204r20CC1-2r201-4r20CC4r-1=r+1r=2/3(舍)4r-1+r+1=20r=4例1证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.131202nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC0122rnnnnnnnCCCCC例2求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123122nnnnnnCCCnCn倒序相加法例3设(1-2x)5=a0＋a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.求：（1）a1+a2+a3+a4+a5的值；（2）a1+a3+a5的值；（3）|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值.解:(1)在(1-2x)5=a0＋a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中分别令x=1，x=-1得：5012345(1)1aaaaaa50123453243aaaaaa135(2)122aaa01a123452aaaaa12345(3)242aaaaa例4⑴在的展开式中，的系数是多少？⑵求展开式中含的项.103)1)(1(xx5x62)1(xx5x解：⑴原式=10310)1()1(xxx可知的系数是的第六项系数与的第三项系数之和.5x10)1(x103)1(xx即：20745252210510CC⑵原式=621xx62524232)()(6)(15)(20xxxxxxxx其中含的项为：5x555566)4(15320xxxx例5已知的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。nxx431解：依题意，为偶数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？19.或18或17n例6：求二项式(x+2)7展开式中系数最大的项，归纳出求形如(ax+b)n展开式中系数最大项的方法。解：设最大项为则：1rT112rrrrTTTT101910101011110102222rrrrrrrrCCCCrrrrrrrrrrrrxCxCxCxC91110101011111010102222101110910!10!r!(10)!(r1)!(9)!10!10!r!(10)!(r1)!(9)!2222rrrrrrrr283355335,,6285rrrr则展开式中最大项为6476110623TTCr100r10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期六）（99100990100C7C71典型例题1001001）（78100 8例：今天是星期五，那么天后的这一天7是星期几？例8计算(精确到0.001)5997.155)003.02(997.1解：322345003.0210003.0210003.0252320.240.0007231.76155)003.02(997.1小结（1）二项式系数的三个性质。（2）数学思想：函数思想。a单调性；b图象；c最值。（3）数学方法：赋值法、递推法各二项式系数的和增减性与最大值对称性这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一一三四六五十一一二一一三一一四一一五十一一杨辉三角这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。