北师大版-八年级下-因式分解、分式与分式方程知识点(上传版)

因式分解一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形：()mabcmambmc整式的乘积因式分解式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式．在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式．二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．三、公式法平方差公式：22()()ababab①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．完全平方公式：2222()aabbab2222()aabbab①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．一些需要了解的公式：3322()()ababaabb3322()()ababaabb33223()33abaababb33223()33abaababb2222()222abcabcabacbc四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2axbxc，若可以分解，则一定可以写成1122()()axcaxc的形式，它的系数可以写成12aa12cc，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a，b，c，使得：12aaa，12ccc，1221acacb，2()()()xabxabxaxb．若24bac不是一个平方数，那么二次三项式2axbxc就不能在有理数范围内分解．五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：①分式的分母中必然含有字母；②分式的分母的值不为0；③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．二、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x时，分式有意义；当0x时，分式无意义．三、分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：aambbm，aambbm(0m)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．五、分式的乘除分式的乘法：acacbdbd．分式的除法：acadadbdbcbc．六、分式的乘方分式的乘方：()nnnnnaaaaaaaabbbbbbbb个个n个＝(n为正整数)．整数指数幂运算性质：①mnmnaaa(m、n为整数)；②()mnmnaa(m、n为整数)；③()nnnabab(n为整数)；④mnmnaaa(0a，m、n为整数)．负整指数幂：一般地，当n是正整数时，1nnaa(0a)，即na(0a)是na的倒数．七、分式的加减运算法则同分母分式相加减:分母不变，把分子相加减，ababccc．异分母分式相加减:先通分，变为同分母的分式再加减，acadbcadbcbdbdbdbd．最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商．八、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在．九、分式方程及其求解分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程求解步骤：①方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；②解整式方程，得到x具体的值；③检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根．增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立．十、分式方程应用题分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验．分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义．