直线与方程知识点与经典例题

1直线与方程知识点与经典例题一、知识点（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°性质：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当α=0°时，斜率k=0；当090时，斜率0k，随着α的增大，斜率k也增大；当90180时，斜率0k，随着α的增大，斜率k也增大.（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyAxB（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。2（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。填空或选择可以用：0:11CByAxl0:22CByAxl2221BACCd二、经典例题【例1】(1)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．【例2】已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.【例3】（1）已知直线1l经过点M（-3，0），N（-15，-6），2l经过点R（-2，32），S（0，52），试判断1l与2l是否平行？（2）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？3【例4】已知直线l经过点(5,4)P，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．【例5】经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．【例7】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．【例8】已知a为实数，两直线1l：01yax，2l：0ayx相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上.4【例9】若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.【例10】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.【例11】已知点2,3A到直线1yax的距离为2，求a的值；【例12】求与直线1:2310lxy及2:4650lxy都平行且到它们的距离都相等的直线方程.5经典例题【例1】(1)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．解：(1)直线AB的斜率1121437k0,所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率2111042k0,所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率312103k0,所以它的倾斜角α是锐角.(2)72533ABkaa，7(9)793(2)5BCaak.∵A、B、C三点在一条直线上，∴ABBCkk，即57935aa，解得2a或29a.【例2】已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解：如图所示,直线PA的斜率是12(3)51(2)k,直线PB的斜率是20213(1)2k.当直线l由PA变化到y轴平行位置PC,它的倾斜角由锐角(tan5)增至90°，斜率的变化范围是[5,)；当直线l由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90°增至1(tan)2，斜率的变化范围是1(,]2.所以斜率的变化范围是1(,][5,)2.【例3】（1）已知直线1l经过点M（-3，0），N（-15，-6），2l经过点R（-2，32），S（0，52），试判断1l与2l是否平行？（2）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？解：（1）∵MNk=0(6)13(15)2，531220(2)2RSk.∴1l//2l．（2）∵1tan451k，26(1)13(2)k，121kk，∴1l⊥2l．【例4】已知直线l经过点(5,4)P，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．解：由已知得l与两坐标轴不垂直．∵直线l经过点(5,4)P，∴可设直线l的方程为(4)[(5)]ykx，即4(5)ykx.则直线l在x轴上的截距为45k，在y轴上的截距为54k.根据题意得5455421kk，即2(54)10||kk.当0k时，原方程可化为2(54)10kk，解得1228,55kk；当0k时，原方程可化为2(54)10kk，此方程无实数解.6故直线l的方程为24(5)5yx，或84(5)5yx.即25100xy或85200xy.【例5】经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：当截距为0时，设ykx，过点(1,2)A，则得2k，即2yx；当截距不为0时，设1,xyaa或1,xyaa过点(1,2)A，则得3a，或1a，即30xy，或10xy这样的直线有3条：2yx，30xy，或10xy新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．解：两点式方程：05)3(00)3(xy；点斜式方程：)0(05)3(0)3(xy，即)0(53)3(xy；斜截式方程：305)3(0xy，即353xy；截距式方程：135yx；一般式方程：01553yx．【例7】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为34，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率为34，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4yx，即3490xy..【例8】已知a为实数，两直线1l：01yax，2l：0ayx相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上.解：解方程组10,0,axyxya得交点(－11,112aaaa).若112aa＞0，则a＞1.当a＞1时，－11aa＜0，此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有12a1＞0，故112aa≠0.因为a≠1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上新疆学案王新敞【例9】若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.解：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：y＝kx3必过点（0，－3）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆时针（由位置AC到位置BC）旋转时，7交点在第一象限.根据303033ACk，得到直线l的斜率k33.∴倾斜角范围为3,3.【例10】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.设'(,)Aab,则12144124022baab，解得01ab，所以线段22|'|(41)(30)32AB.【例11】已知点2,3A到直线1yax的距离为2，求a的值；解：1,10,yaxaxy22231222,11aadaa22222,aa2248422,aaa22820,3232.aaaa或【例12】求与直线1:2310lxy及2:4