全等三角形的性质与判定 习题课

小专题(四)全等三角形的性质与判定1．如图所示，D、E是△ABC中BC边上的点，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，EB＝DC，那么∠1和∠2之间是什么关系？说你的理由．解：在△ADC和△AEB中，AD＝AE，∠ADC＝∠AEB，DC＝EB，所以△ADC≌△AEB(SAS)．所以∠DAC＝∠EAB.因为∠EAB－∠DAE＝∠DAC－∠DAE，所以∠1＝∠2.2．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.证明：∵FC∥AB，∴∠ADE＝∠CFE.在△ADE和△CFE中，∠ADE＝∠CFE，DE＝FE，∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE＝CE.3．已知：如图，AB，CD交于点O，E，F为AB上两点，OA＝OB，OE＝OF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.证明：∵OA＝OB，OE＝OF，∴OA－OE＝OB－OF，即AE＝BF.在△ACE和△BDF中，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF，AE＝BF，∴△ACE≌△BDF(AAS)．4．如图，已知AC交BD于点O，AB＝DC，∠A＝∠D.(1)请写出符合上述条件的五个结论(并且不再添加辅助线，对顶角除外)；(2)从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．(1)五个结论：OB＝OC；OA＝OD；AC＝DB；∠ABO＝∠DCO；∠ABC＝∠DCB.(2)选证OB＝OC.在△ABO和△DCO中，∠AOB＝∠DOC，∠A＝∠D，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO(AAS)．∴OB＝OC.5．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2.请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．(不再添加辅助线和字母)答案不唯一，可以是∠E＝∠B，∠D＝∠A，FD＝CA，AB∥ED等．以DF＝AC加以证明．∵BF＝EC，∴BF－CF＝EC－CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，BC＝EF，∠1＝∠2，CA＝FD，∴△ABC≌△DEF(SAS)．6．如图，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm，AN＝2cm，求△ABC的周长．因为MN平分∠AMC，所以∠AMN＝∠CMN，因为MN⊥AC，所以∠MNA＝∠MNC＝90°.在△AMN和△CMN中，∠AMN＝∠CMN，MN＝MN，∠MNA＝∠MNC，所以△AMN≌△CMN(ASA)．所以AN＝NC，AM＝CM.因为AN＝2cm，所以AC＝2AN＝4cm.又因为△ABM的周长为9cm，所以△ABC的周长为9＋4＝13(cm)．7．如图所示，要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离，作法如下：(1)任作线段AB，取中点O；(2)连接DO并延长使DO＝CO；(3)连接BC；(4)用仪器测量E，O在一条线上，并交CB于点F，要测量AE，DE，只需测量BF，CF即可，为什么？由条件可知，△AOD≌△BOC，∴BC＝AD.又∠A＝∠B，∠AOE＝∠BOF，AO＝BO，故△AOE≌△BOF.∴AE＝BF.∴DE＝CF.因此只要测出BF，CF即可知AE，DE的长度了．8．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示方式放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一直线上，连接DC.(1)请找出图2中的全等三角形，并予以证明；(1)图2中△ABE≌△ACD.证明：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∴△ABE≌△ACD(SAS)．(2)求证：DC⊥BE.(2)证明：由(1)知△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠B＝45°.又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°.∴DC⊥BE.9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，∠CAE＝∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE，试问：BD与AC相等吗？请说说你的理由．解：BD＝AC，理由如下：过D点作AC的平行线交AE的延长线于F，则∠CAE＝∠F.又∵∠AEC＝∠DEF，E是CD的中点，∴CE＝DE.∴△AEC≌△FED.∴AC＝FD.又∵AD平分∠BAE，∴∠DAE＝∠BAD.又∵∠B＝∠F，AD为公共边，∴△ABD≌△AFD.∴BD＝DF.∴BD＝AC.10．(南京中考)(1)如图1，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.证明：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH.在△CBG和△FEH中，∠G＝∠H＝90°，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△CBG≌△FEH(AAS)．∴CG＝FH.在Rt△ACG和Rt△DFH中，AC＝DF，CG＝FH，∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)．∴∠A＝∠D.在△ABC和△DEF中，∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．(2)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是锐角，请你用尺规在图2中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)答案略