第六章―水文频率计算

6.4水文频率计算正态分布分布线性皮尔逊Ⅲ型分布对数正态分布水文频率计算矩法参数估计适线法其他方法6.4.1线型分布•6.4.1.1正态分布自然界中许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从或近似服从正态分布。正态分布具有如下形式概率密度式中:ɑ—为平均数(总体均值EX)；σ—标准差；e—为自然对数的底222)(21)(axexf•正态分布的密度曲线有以下3个特点（1）单峰。（2）关于均值ɑ对称，即Cs=0.（3）曲线两端趋于无限，并以x轴为渐近线正态分布概率密度函数只包括两个参数，即均值ɑ和均方差σ。因此，若某个随机变量服从正态分布，只要求出均值ɑ和均方差σ值，则分布便确定。正态分布曲线在处出现拐点。—a正态分布的密度曲线与x轴所围成的面积等1。在区间所对应的面积占全面积的68.3%，区间所对应的面积占全面积的99.7%—a3—af（x）68.3%6.4.1.2皮尔逊Ⅲ型分布皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一段有限，一点无限的不对称单峰曲线，数学上称为伽马分布，器概率密度函数为式中：参数α，β，a0为皮尔逊三型分布的形状、尺度和位置参数，α0,β0。)(10)()()(oaxaaeaxxf)(10)()()(oaxaaeaxxf)21(;2;402svsvsCCxaCCxC水文计算中，一般需要求出制定频率p所对应的随机变量xp,这要通过对密度曲线进行积分，求出等于或大于xp的累积频率p值，即直接由上式计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，根据拟定的Cs值进行积分，并将成果制成专用表格，从而使计算工作大大简化。令dxxfxxPPPxP)()(v-xEXCEX则有ᵠ是标准化变量，称为离均系数，ᵠ的均值为0，标准差为1。这样经过标准化变化后在化简可得在进行频率计算时，由样本估计出的Cs值，查ᵠ值表得出不同的P的ᵠp值，然后利用估计出的x、Cv值即可求出与各种p相应的xp值，从而可绘出频率曲线。如何求得皮尔逊三型分布曲线的参数、Cv、Cs是关键。)1(xCpEXEXCvddxp),()(pdCsfP—x6.4.2参数估计在概率分布函数中都有一些表示分布特征的参数，水文频率曲线线型选定之后，为了具体确定概率分布函数，就得估计出这些参数。由于水文现象的总体通常是无限的，我们无法取得，这就需要用有限的样本观测资料去估计总体分布线型中的参数，故称为参数估计。由样本估计总体的方法有很多，例如矩法、概率权重矩法、线性矩法、权函数法即适线法等。一般情况下，这些方法各有各的特点，均可独立使用。我国工程水文中通常采用适线法，而其他方法估计参数，一般作为适线法的初估值。6.4.2.1矩法矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。该发计算简单，事先不用选定频率曲线线型，因此，是频率分析计算常用的办法。由于各阶原点矩和中心矩都与统计参数之间有一定的关系。因此，可以用矩来表示参数。设水机标量x的分布函数为F(x)，则x的r阶原点矩和中心矩分别为和式中:f(x)为随机变量X的概率密度函数。对于样本，r阶样本原点矩和r阶样本中心矩分别为r=1,2,…r=2,3,...式中：n为样本容量dxxfmr)(xrdxxfxExr)()]([rrmrrniinirirxxnxnm)(111_1样本特征值的数学期望值与总体同一特征值比较接近，如n足够大时，其差别更微小。经过证明，样本原点矩的数学期望正好是总体原点矩mr,但样本中心矩的数学期望不是总体的中心矩，把经过修正后，再求其数学期望，则可得到。修正的数值称为该参数的无偏估计量，然后用它作为参数估计值。rmrrr323221)2)(1()(1)(1nnnEnnExnxnii用上述无偏估值公式计算出来的参数作为总体参数的估计时，只能说有很多个同容量的样本资料，用上式计算出来的统计参数的均值，可望等于或近似等于相应总体参数。而对于某一个具体的样本，计算出参数可能大于或小于总体参数，两者存在误差。因此，用有限样本资料算出来的统计参数，去估计总体的统计参数总会出现一定的误差，这种随机抽样引起的误差，在统计上称为统计误差。3321)3()1(1)1(1visivniiCnKCnKCxnx抽样误差统计参数的均方误公式：4222216523162432124312ssCsvsvvCsxCCnCCCCnCCnnsv6.4.2.2适线法适线法:根据估计的频率分布曲线和样本经验点据分布配合最佳来优选参数的方法优点:层次清楚，方法灵活，操作容易实质是通过样本的经验分布去探求总体的分布适线法:目估适线法、计算机优化适线法经验频率曲线如图所示的折线经验分布曲线，如消除折线而画成一条光滑的曲线，水文计算中习惯上称为经验频率曲线，在样本确定的情况下，这条曲线基本上取决于样本中每一项在图上的位置，即每一项的纵、横坐标。经验频率曲线的形状与每一项频率的估算，关系极为密切。x12001000800020406080100W（%）某地年降雨量经验分布曲线年降雨量（mm）经验频率经验频率的估算在于对样本序列中的每一项估算其对应的频率。设一个总体，共有无穷项，我们随机地将其分成许多个样本（设为k个），每个样本都含有n项且相互独立。各个样本中的各项可按大小自大而小的次序安排如下。第一个样本:第二个样本:第k个样本:现在每个样本中取出同序来研究，设取第m项，则有*1*1*21*11,....,,.......,,nmxxxx*2*2*22*12,....,,.......,,nmxxxx***2*1,....,,.......,,nkmkkkxxxx**2*1,....,,mkmmxxx其在总体中都有一个对应的出现概率为水文资料只是一个样本，期望它处于平均情况，即期望样本中第m项的频率是许多样本中通序号概率的均值当k→较大时，可以证明上式在水文计算中通常称为期望公式，以此估计经验频率。**2*1,....,,mkmmPPP)......(121mkmmPPPkP1Pnm频率与重现期（1）当研究暴雨洪水时，一般P50%，采用式中：T为重现期，以年计；P为频率，以小数点或百分数计。（2）当研究枯水问题时，一般P50%,采用PT1PT11目估适线法目估适线法估计频率曲线参数的具体步骤如下（1）将实测资料由大到小排列，计算各项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点据（纵坐标变量取值，横坐标经验频率）（2）选定水文频率分布线型（一般选用皮尔逊Ⅲ型）（3）假定一组参数、Cv、Cs。为了使假定值接近实际，可用矩法或其他方法求出3个参数的值作为假定值。当用矩法估计时，Cs的误差太大，一般不计算，假定为Cv的某一倍数x（4）根据初估的、Cv、Cs，计算Xp值。以为纵坐标，P为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参数（主要调整Cv以及Cs)再次进行计算。（5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条鱼经验点据配合较好的曲线作为采用曲线。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。x为避免配线时修改参数的盲目性，需要了解统计参数对频率曲线的影响均值对频率曲线的影1）当皮尔逊Ⅲ型频率曲的两个参数Cv和Cs不变时，由于均值的不同，可以使频率曲线发生很大的变化。2）均值大的均值小的曲线陡变差系数Cv对频率曲线的影响为了消除均值的影响，我们以模比系数K为变量绘制频率曲线，见右图。图中Cs=1.0。Cv=0时，随机变量的取值都等于均值，此时频率曲线即为k=1的一条水平线，随着cv的增大，频率曲线的偏离程度也随之增大，曲线显得越来越陡。偏态系数Cs对频率曲线的影响图中Cv=0.1时各种不同的Cs对频率曲线的影响情况。正偏情况下，Cs愈大，对应的频率愈上段愈陡，下段愈平缓。谢谢观赏WPSOfficeMakePresentationmuchmorefun@WPS官方微博@kingsoftwps