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公众号：安逸数学工作室1上海市宝山区2017—2018学年高三第一学期期末测试卷数学2017.12考生注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间20分钟.一.填空题（本大题满分54分）本大题有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.设集合{}{}234120123AB==，，，，，，，,则AB=I________.2.57lim57nnnnn-=+________.3.函数22cos(3)1yxp=-的最小正周期为________.4.不等式211xx++的解集为________.5.若23izi-+=（其中i为虚数单位）,则Imz=________.6.若从五个数10123-，，，，中任选一个数m,则使得函数2()(1)1fxmx=-+在R上单调递增的概率为________.（结果用最简分数表示）7.在23()nxx+的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为1024,则常数项的值等于________.8.半径为4的圆内接三角形ABC的面积是116,角ABC、、所对应的边依次为abc、、,则abc的值为________.9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,双曲线22125144xy-=的右焦点是C的焦点F.若斜率为1-,且过F的直线与C交于AB，两点,则AB=________.10.直角坐标系xOy内有点(21)P--,,(02)Q-,将POQD绕x轴旋转一周,则所得几何体的体积为________.11.给出函数2()gxxbx=-+,2()4hxmxx=-+-,这里bmxRÎ,,,若不等式()10gxb++?（xRÎ）恒成立,()4hx+为奇函数,且函数(),()(),gxxfxhxxttìïï=í£ïïî,恰有两个零点,则实数t的取值范围为________.12.若n（3n³,n*Î¥）个不同的点111()Qab,,222()Qab,,L,()nnnQab,满足:12naaaL,则称点12nQQQL,,,按横序排列.设四个实数123kxxx，，，使得公众号：安逸数学工作室22231322()2kxxxx-，，成等差数列,且两函数2yx=,13yx=+图象的所有交点111()Pxy，,222()Pxy，,333()Pxy，按横序排列,则实数k的值为________.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13.关于xy，的二元一次方程组341310xyxyì?=ïíï-=ïî的增广矩阵为（）A.3411310骣-÷ç÷ç÷ç÷-÷ç桫B.3411310骣÷ç÷ç÷ç÷--÷ç桫C.3411310骣÷ç÷ç÷ç÷-÷ç桫D.3411310骣÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫14.设1234PPPP，，，为空间中的四个不同点,则“1234PPPP，，，中有三点在同一条直线上”是“1234PPPP，，，在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.若函数(2)yfx=-的图象与函数3log2yx=+的图象关于直线yx=对称,则()fx=（）A.223x-B.213x-C.23xD.213x+16.称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积.设:数列甲:125xxxL，，，为递增数列,且ixN*Î（125i=L，，，）;数列乙:12345yyyyy，，，，满足{1,1}iy?（125i=L，，，）.则在甲、乙的所有内积中（）A.当且仅当1234513579xxxxx=====，，，，时,存在16个不同的整数,它们同为奇数;B.当且仅当12345246810xxxxx=====，，，，时,存在16个不同的整数,它们同为偶数;C.不存在16个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数;D.存在16个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数.三.解答题（本大题满分76分）本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1题满分6分,第2题满分8分.如图,在长方体1111ABCDABCD-中,已知4ABBC==,18DD=,M为棱11CD的中点.（1）求四棱锥MABCD-的体积;（2）求直线BM与平面11BCCB所成角的正切值.公众号：安逸数学工作室318.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1题满分6分,第2题满分8分已知函数2()12sin2xfx=-.（1）求()fx在322pp轾犏犏臌，上的单调递减区间;（2）设ABCD的内角ABC，，所对应的边依次为abc，，,若111112cab----且1()2fC=,求ABCD面积的最大值,并指出此时ABCD为何种类型的三角形.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1题满分6分,第2题满分8分.设数列{}{}nnab，及函数()fx（xRÎ）,()nnbfa=（nN*Î）.（1）若等比数列{}na满足1213aa==，,()2fxx=,求数列{}1nnbb+的前n（nN*Î）项和;（2）已知等差数列{}na满足1224()(1)xaafxql===+，，（ql、均为常数,0q,且1q¹）,123()nncnbbb=+++++L（nN*Î）.试求实数对()ql，,使得{}nc成等比数列.20.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1题满分4分,第2题满分6分,第3题满公众号：安逸数学工作室4分6分.设椭圆C:22221xyab+=（0ab）过点(20)-，,且直线510xy-+=过C的左焦点.（1）求C的方程;（2）设(3)xy，为C上的任一点,记动点()xy，的轨迹为G,G与x轴的负半轴,y轴的正半轴分别交于点GH，,C的短轴端点关于直线yx=的对称点分别为12FF，.当点P在直线GH上运动时,求12PFPF×uuuruuur的最小值;（3）如图,直线l经过C的右焦点F,并交C于AB，两点,且A,B在直线4x=上的射影依次为D,E.当l绕F转动时,直线AE与BD是否相交于定点?若是,求出定点的坐标;否则,请说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1题满分4分,第2题满分6分,第3题满分8分.设zCÎ,且,Re0(),Re0zzfzzzì锍ï=íï-ïî.（1）已知2()()429fzfzzi+-=-+（zCÎ）,求z的值;（2）设z（zCÎ）与Rez均不为零,且21nz?（nN*Î）.若存在0kN*Î,使得()()001()2()kkfzfz+?,求证:1()2()fzfz+?;（3）若1zu=（uCÎ）,1nzf+=2(nznz+1)+（nN*Î）.是否存在u,使得数列12zzL，，满足nmnzz+=（m为常数,且mN*Î）对一切正整数n均成立?若存在,试求出所有的u;若不存在,请说明理由.公众号：安逸数学工作室52018年宝山区高三一模数学参考答案第一部分、填选第二部分、简答题17.解:（1）因为长方体1111ABCDABCD-,所以点M到平面ABCD的距离就是18DD=,故四棱锥MABCD-的体积为MABCDV-=11128=33ABCDSDD鬃.（2）（如图）联结1BC,BM,因为长方体1111ABCDABCD-,且11MCDÎ,所以1MC^平面11BCCB,故直线BM与平面11BCCB所成角就是1MBCÐ,在1RtMBCD中,由已知可得111122MCCD==,22111145BCBBBC=+=,因此,111251045MCtanMBCBC?==,即直线BM与平面11BCCB所成角的正切值为510.18.解:（1）由题意可得()fxcosx=,故()fx在322pp轾犏犏臌，上的单调递减区间为2pp轾犏犏臌，.123456{}23，1-13(1)-+?，22578910111240511044p[20)[4)-+?U，，113141516CACD公众号：安逸数学工作室6（2）由已知可得4ab+=,Q1()2fC=,\12cosC=,又(0)CpÎ，,\3Cp=.故ABCSD12absinC=34ab=23()42ab+Ｗ3=,当2ab==时取等号,即ABCD面积的最大值为3,此时ABCD是边长为2的正三角形.19.解:（1）由已知可得13nna-=（nN*Î）,故123nnb-=?（nN*Î）,所以1nnbb+2143n-=?（nN*Î）,从而{}1nnbb+是以12为首项,9为公比的等比数列,故数列{}1nnbb+的前n项和为3(91)2n-（nN*Î）.（2）依题意得2nan=（*nNÎ）,所以nb2(1)nql=+（*nNÎ）,故nc222223(1)11nqqnqqqlll=+++---（nN*Î）,令2230110qqllìïï+=ïïí-ïï+=ïïî,解得132qlì?-ïïïíï=ïïïî（302q=-舍去）,因此,存在3()(1)2ql=-，，,使得数列{}nc成等比数列,且33()4nnc=?（*nNÎ）.20.解:（1）依题意可得2a=,半焦距1c=,从而2223bac=-=,因此,椭圆C的方程为22143xy+=.（2）因为点(3)xy，在C上,所以22(3)143yx+=,故轨迹G:2214xy+=.不妨设1(30)F-，,2(30)F，,()Pxy，,则1(3)PFxy=---uuur，,2(3)PFxy=--uuur，.易得直线GH:220xy-+=,故22123PFPFxy?+-uuuruuur24115()55y=--,所以当45y=,即点P的坐标为24()55-，时,12PFPF×uuuruuur取得最小值115-.（或这样:因为点P在直线GH上运动,所以当OPGH^时,22xy+取得最小值,故22xy+也取得公众号：安逸数学工作室7最小值,此时()2220202455minxy轾-?犏+==犏犏臌,易得对应点为垂足24()55P-，,从而,12PFPF×uuuruuur的最小值为()12411355minPFPF?-=-uuuruuur.）（3）易得(10)F，,设l:1xmy=+（mRÎ）,A11()xy，,B22()xy，,则1(4)Dy，,2(4)Ey，,由221431xyxmyìïï+=ïïíïï=+ïïî得22(34)690mymy++-=,显然2144(1)0mD=+,且122634myym+=-+,122934yym=-+.将111xmy=+代入直线AE的方程:1212(4)()()(4)xyyyyx--=--,并化简可得121211211()2()5(3)0myyyyyyyxymyy轾+++-+-+-=臌,将122634myym+=-+,122934yym=-+代入可得111222966()(2)5(3)0343434mmmyxymyymmm?-++-+-=+++,即直线AE的方程为221152(34)3()+(34)(3)02mymxmmyy轾++-+-=犏臌,因为1my，任意,所以直线AE过定点5(0)2，.同理可得直线BD也过定点5(0)2，.综上,当l绕F转动时,直线AE与BD相交于定点5(0)2，.21.解:（1）设zabi=+（abRÎ，）,则Reza=.若0a³,则()fzz=,由已知条件可得329abii--=-+,abRÎQ，,239abì?=-ï\íï-=ïî,解得23abì?ïíï=-ïî,23zi\=-.公众号：安逸数学工作室8若0a,则()fz=z-,由已知条件可得7529abii--=-+,abRÎQ，,\7259abì?=-ïíï-=ïî,解得2795abìïï=ïïïíïï=-ïïïî,但0a,故2795abìïï=ïïïíïï=-ïïïî舍去.综上,得23zi=-.（2）证明如下:令()()1()()nnntfzfz=+,则1nnntzz=+（nN*Î）.假设1