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3.2资产组合理论第3章投资组合理论现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志1962年，WillianSharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）1976年，StephenRoss提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitragepricingtheory，APT）。上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够真正地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，EugeneFama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficientmarkethypothesis，EMH）天津大学管理与经济学部投资学23.2资产组合理论基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）投资者希望持有有效资产组合。天津大学管理与经济学部投资学33.2.1组合的可行集和有效集可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。天津大学管理与经济学部投资学4两种风险资产构成的组合的风险与收益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为rp=w1r1＋w2r222σp＝w12σ12+w2σ22+2w1w2σ1222＝w12σ12+w2σ2+2w1w2σ1σ2ρ12注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。由于w1＋w2=1，则rp(w1=w1r1＋(1−w1r2σp(w1＝w12σ12+(1−w12σ22+2w1(1−w1σ1σ2ρ12由此就构成了资产在给定条件下的可行集！天津大学管理与经济学部投资学5天津大学管理与经济学部投资学613.2.2两种完全正相关资产的可行集两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有组合的风险－收益二维表示收益rpσp(w1＝w1σ1+(1−w1σ2rp(w1=w1r1＋(1−w1r2当w1＝1时，σp＝σ1，rp=r1.当w1＝0时，σp＝σ2，rp=r2所以，其可行集连接两点（r1，σ1）和（r2，σ2）的直线。天津大学管理与经济学部投资学风险σp7天津大学管理与经济学部投资学8命题3.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得σp(w1=w1σ1+(1−w1σ2w1=(σp－σ2/(σ1−σ2rp(σp=w1r1+(1−w1r2=((σp－σ2/(σ1−σ2r1+(1−(σp－σ2/(σ1−σ2r2=r2−r1−r2则从而两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp(r1,σ1σ1−σ2σ2+σ1−σ2r1−r2σp投资学9天津大学管理与经济学部(r2,σ2投资学风险σp10故命题成立，证毕。天津大学管理与经济学部3.2.3两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有σp(w1=w12σ12+(1−w12σ22－2w1(1−w1σ1σ2=|w1σ1−(1−w1σ2|rp(w1=w1r1＋(1−w1r2命题3.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：σ当w1≥σ1+σ2σp(w1=w1σ1−(1−w1σ2，则可以得到w1=f(σp，从而σp＋σ2σp＋σ2r1＋(1−rσ1+σ2σ1+σ22σ1+σ2r1−r22时σ2时,σp=0σ1+σ2σ2当w1≥时，σp(w1=w1σ1−(1−w1σ2σ1+σ2σ2当w1≤时，σp(w1=(1−w1σ2−w1σ1σ1+σ2当w1=天津大学管理与经济学部投资学11rp(σp==σp+σ1+σ2投资学r1−r2σ2+r212天津大学管理与经济学部2两种证券完全负相关的图示同理可证当w1≤σ2时,σ1+σ2σp(w1=(1−w1σ2−w1σ1，则rp(σp=−r1−r2r−rσp+12σ2+r2σ1+σ2σ1+σ2收益rp(r1,σ1σ1+σ2r−r21σ2+r2(r2,σ2风险σp命题成立，证毕。天津大学管理与经济学部投资学13天津大学管理与经济学部投资学143.2.4两种不完全相关的风险资产的组合的可行集总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集收益Erp当1ρ−1时rp(w1=w1r1＋(1−w1r22σp(w1＝w12σ12+(1−w12σ2+2w1(1−w1σ1σ2ρ12(r1,σ1ρ=1尤其当ρ＝0时σp(w1＝wσ+(1−w1σ2121222σ1+σ2r−r21σ2+r2(r2,σ2ρ=0风险σp这是一条二次曲线，事实上，当1ρ−1时，可行集都是二次曲线。ρ=-1天津大学管理与经济学部投资学15天津大学管理与经济学部投资学DynamicWeights.xls16Figure：PortfolioExpectedReturnasafunctionofStandardDeviation最小方差组合（最低风险组合）在可行集中，方差最低的投资机会，成为最低风险组合或最小方差组合。2minσP=w12σ12+w22σ22+2w1w2ρ12σ1σ2s.tw1+w2=1w1，w2≥0天津大学管理与经济学部投资学17天津大学管理与经济学部投资学1832minσp=w12σ12+w22σ22+2w1w2ρ1,2σ1σ22.最小方差组合最小方差组合:ρ=.2(.22-(.2(.15(.2w1=(.152+(.22-2(.2(.15(.2w1+w2=1证券1E(r1=.10证券2E(r2=.14σ1=.15ρ=.2σ2=.2012σ2-Cov(r1r22w1=σ1+σ2-2Cov(r1r222投资学19w1=.6733w2=(1-.6733=.3267天津大学管理与经济学部投资学20w2=(1-w1天津大学管理与经济学部最小方差组合ρ=-.3rp=.6733(.10+.3267(.14=.1131(.22-(.2(.15(.2w1=(.152+(.22-2(.2(.15(-.32(.2(.15(-σp=[(.67332(.152+(.32672(.22+2(.6733(.3267(.2(.15(.2]1/2w1=.6087w2=(1-.6087=.3913σp=[.0171]1/2=.1308投资学21天津大学管理与经济学部投资学22天津大学管理与经济学部最小方差组合ρ=-.3rp=.6087(.10+.3913(.14=.11573种风险资产的组合二维表示一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。收益rp423σp=[(.60872(.152+(.39132(.22+2(.6087(.3913(.2(.15(-.3]1/22(.6087(.3913(.2(.15(1/2σp=[.0102]1/2=.1009投资学231风险σp天津大学管理与经济学部投资学24天津大学管理与经济学部4n种风险资产的组合二维表示类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。收益rp总结：可行集的两个性质1.在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。天津大学管理与经济学部投资学25风险σp天津大学管理与经济学部投资学26不可能的可行集收益rpBA3.2.5风险资产组合的有效集在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合。其特点是：在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；风险σp天津大学管理与经济学部投资学27由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。天津大学管理与经济学部投资学28马克维茨的数学模型均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据均值方差准则可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化天津大学管理与经济学部投资学293.3多种风险资产的有效边界E(r有效边界最小方差组合单个资产可行集St.Dev.天津大学管理与经济学部投资学305天津大学管理与经济学部投资学31Figure:TheMinimum-VarianceFrontierofRiskyAssets天津大学管理与经济学部投资学321111mins.t.,1nnijijijniiiniiσ======∑∑∑∑11111212...c-=(,,...,w=(,,...,,nnnnTnnrrrσσσσ⎡⎤⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#%#r若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量,求解组合中资产权重向量则有天津大学管理与经济学部投资学33对于上述带有约束条件的优化问题,可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1111L((1nnnnijijiiiijiiσλμ=====−−−−∑∑∑∑上式左右两边对wi求导数,令其一阶条件为0,得到方程组天津大学管理与经济学部投资学34111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrwσλμσλμσλμ===∂⎧=−−=⎪∂⎪⎪∂=−−=⎪∂⎨⎪⎪⎪∂=−−=⎪∂⎩∑∑∑#和方程111niiiniiwrcw==⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑天津大学管理与经济学部投资学35这样共有n+2方程,未知数为wi(i=1,2,…,n、λ和μ,共有n+2个未知量,其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组,可以通过线性代数加以解决。例:假设三项不相关的资产,其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为2,求解最优的权重。天津大学管理与经济学部投资学363111113222123332133123131231020302321jjjjjjjjjiiiiiLwrwwLwrwwLwrσλμλμσλμλμσλμλμ=====∂⎧=−−=−−=⎪∂⎪⎪∂=−−=−−=⎪∂⎪⎪∂⎪=−−=−−=⎨∂⎪⎪=++=⎪⎪⎪⎪=++=⎪⎩∑∑∑∑∑10001001⎡⎤⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于1=(1,2,3,2Tc=r天津大学管理与经济学部投资学3712301/31/31/31/3λμ=====课外练习:假设三项不相关的资产。其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为1,求解最优的权重。由此得到组合的方差为213σ=天津大学管理与经济学部投资学383.2.6最优风险资产组合1.由于假设投资者是风险厌恶的,因此,最优投资组合必定位于有效集边界上,其他非有效的组合可以首先被排除。2.虽然投资者都是风险厌恶的,但程度有所不同,因此,最终从有效边界上挑选那一个资产组合,则取决于投资者