第3章单自由度机械系统动力学

第三章单自由度机械系统动力学何为动力学正问题？§3.1概述抛掉输入构件按某种给定规律运动的假定（如作等速旋转运动或匀速直线运动），求解在施加于机械的真实外力的作用下，机械系统的运动随时间而变化的规律，称为动力学正问题。单自由度机械系统动力学分析步骤：1.将实际的机械系统简化为等效动力学模型2.根据等效动力学模型列出系统的运动微分方程；3.应用解析方法或数值方法求解系统运动微分方程，求出等效构件的运动规律§3.2作用在机械上的力一、作用在机械上的力的特征（1）驱动力（2）重力（3）摩擦力（4）生产阻力常数随位移变化随速度变化随时间变化常数位移的函数速度的函数如以重锤作为驱动装置的情况如用弹簧作驱动件时如一般的电动机如起重机的起吊重量如往复式压缩机中活塞上作用的阻力如鼓风机的生产阻力揉面机的生产阻力§3.2作用在机械上的力一、作用在机械上的力的特征二、三相异步电动机的机械特性根据铭牌上的相关数据确定四个特征点)0,(),,0(),,(),,(0DHHKKMDCMBMA最大转矩额定转矩起动转矩求出机械特性曲线拟合成直线拟合成二次抛物线0021009550,,3030,,()(1)HHHHHKHDHKHPMnnnMMMM机械特性曲线的AC段是工作段，是动力分析中最常用到的。可以用二次函数来描述。2Mabc将C,B,A三点的M和ω值代入二次函数可得一个线性方程组：200220HHHKKKabcabcMabcM000000()()=--=--KHKHHHHKKKKHabcMM式中（）（）（）（）§3.3等效力学模型单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以使问题得到简化。为了使得等效构件的运动与机构中该构件的运动一致，要将作用于机构上的全部外力等效地折算到该构件上，把所有的质量和转动惯量也折算到该构件上。——折算的依据是功能原理。为了计算的简便，通常取作定轴转动或直线运动的构件作为等效构件。当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。一、等效力和等效力矩等效原则：作用于等效构件上的等效力（或等效力矩）所作的功＝作用于系统上的全部外力所作的功。实用中为了方便，可根据功率相等来折算。njjjmkkkkenjjjmkkkkeMvFMvMvvFF1111coscos（3.3.1）等效力等效力矩等效速度等效角速度上面式子中，当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。由此可见，等效力或等效力矩可以在不知道机械真实运动的情况下求出。njjjmkkkkenjjjmkkkkeMvFMvMvvFF1111coscos（3.3.1）由上式可看出，等效力（或等效力矩）不仅与外力或外力矩有关，而且与传动比有关。在含有连杆机构或凸轮机构等变速比传动的系统中，这些传动比仅与机构的位置有关。在不含变速比传动而仅含定速比传动的系统中，这些传动比为常数。等效力学模型一、等效力和等效力矩等效原则：等效构件具有的动能＝各构件动能之和221221nSjjejjjnSjjejjjvMmJvvvJmJ（3.3.3）等效质量和等效转动惯量与传动比有关，而与机械驱动构件的真实速度无关二、等效质量和等效转动惯量等效力学模型一、等效力和等效力矩1.能量形式的运动方程式kEW动能定理？二、等效质量和等效转动惯量三、运动方程式（3.3.5）212222111122eeeJJMd2.力矩形式的运动方程式根据动能定理，等效力矩所作的功W等于等效构件动能的增量kE动能定理的微分形式为（3.3.8）22212eeedJddJMdtddtkdEPdtePM式中P——等效力矩的瞬时功率，Ek——等效构件的动能。21()2eedJMdt上式展开为：等效力学模型一、等效力和等效力矩二、等效质量和等效转动惯量三、运动方程式四、等效转动惯量及其导数的计算方法对连杆机构、凸轮机构等具有变传动比的机构，其传动比为机构位置的函数，要写出转动惯量的表达式可能是极为繁难的工作。更何况，当利用力矩形式的运动方程式来研究时还需要求转动惯量的导数。这是非常困难的，通常只能用数值方法求解。在用数值方法求解运动方程时，不一定需要知道和的表达式，而只需准备好在一个循环内若干离散位置上和的数值即可。这可以在计算机上调用运动分析程序来实现。eJedJdeJedJd221nSjjejjjvJmJ（3.3.3）222211()SjxSjynjejjjJmvvJ（3.3.9）312()SjxSjxSjySjynejjjjjdJmvvJd（3.3.10）eJedJd由于和均与等效构件之真实运动无关，在进行运动分析时可取等效构件角速度，角加速度1/rads0§3.4运动方程式的求解方法一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解当驱动力和生产阻力均为位置的函数时，等效力矩仅与位置有关。此时用能量形式的运动方程式求解。（3.3.5）212222111122eeeJJMd（3.4.1）0220011()()()22eeeJJMd)(W（3.4.3）2002()()()eeJWJ若是以表达式给出，且为可积函数时，（3.4.3）可得到解析解。但是常常是以线图或表格形式给出，则只能用数值积分法来求解。常用的数值积分法有梯形法和辛普生法。()eM()eM运动方程式的求解方法一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程的求解1.解析法由力矩形式的运动方程式（3.3.8）22212eeedJddJMdtddt常数=0（3.4.5）22()eeeddMJJdtdt所以分离变量后积分得（3.4.6）00()eedttJM运动方程式的求解方法一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程的求解1.解析法（3.4.6）00()eedttJM()eMab若（3.4.7）00lneJabttbab则再求出其反函数()ft2()eMabc若（3.4.8）002edttJabc