高中数列知识点总结

我爱数列1数列第一部分等差数列一定义式：1nnaad二通项公式：na1()(1)manmdand一个数列是等差数列的等价条件：banan(a，b为常数)，即na是关于n的一次函数，因为nZ，所以na关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。三前n项和公式：1()2nnnaaS…………①na中间项…………②1(1)2nnnad……③按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③一个数列是等差数列的另一个充要条件：bnanSn2(a，b为常数，a≠0)，即nS是关于n的二次函数，因为nZ，所以nS关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。四性质结论(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d；4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d(二)a与b的等差中项2abA；在等差数列na中，若mnpq，则mnpqaaaa；若2mnp，则2mnpaaa；(三)若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇(四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,nAaaa，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有CAB2；(五)10a,mnSS,则前2mnS(m+n为偶数)或12mnS(m+n为奇数)最大第二部分等比数列一定义：1(2,0,0){}nnnnaqnaqaa成等比数列。二通项公式：11nnqaa，nmnmaaq数列{an}是等比数列的一个等价条件是：我爱数列2(1),(0,01nnSabab，）当0q且0q时，na关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。三前n项和：1111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq；(注意对公比的讨论)四性质结论：(一)a与b的等比中项G2GabGab(,ab同号)；(二)在等比数列na中，若mnpq，则mnpqaaaa；若2mnp，则2mnpaaa；(三)设12,nAaaa，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有2BAC第三部分求杂数列通项公式na一构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。第一类：11132503(5)2(5)52{5}53nnnnnnnaaaaaaa是公比为32的等比数列11)32)(5(5nnaa，从而求出na。第二类：11134802(1)53(25)2(1)5325nnnnnnaananananan}52{nan是公比为3的等比数列113)7(52nnana.第三类：naann31，系数之比为1的时候用叠加法。第四类：既有nS又有na利用nnnaSS1，将所有S换成a，或者将所有a换成S。第五类：关于na与1na的二次式，或者nS与1nS的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。二构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，例如：112111nnnaaa，两边取倒数}11{112111nnnaaa是公差为2的等差数列)1(211111naan，从而求出na。第二类：我爱数列3221(1)(1)nnnanann1111nnnnaann1nnan是公差为1的等差数列1111211nnnnaaann三递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。例如1211nnnnnanaannaana!【注:!(1)(2)1nnnn】求通项公式na的题，不能够利用构造等比或者构造等差求na的时候，一般通过递推来求na。第四部分求前n项和nS一裂项分组法：1111122334111111111()()()()122334111111nnnnnnn（）、11111,2,3,4,n39278111111234392781的前和是：（++++）+（+++）二错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，求：23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)①234n-1nn+1nxS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)②①减②得：23n-1nn+1n2n-1n+1(1x)S=x2x2x2x2x2n1x2x1xx2n1x1x从而求出nS。错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式(3)用①②，错位相减(4)化简计算三倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法1：等差数列求和：n123n2n1nnnn1n2321S=aaaaaaS=aaaaaa两式相加可得：我爱数列4n1n2n13n23n22n11n1nn2S=aaaaaaaaaaaanaaS2：设1()22xfx.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得(5)(4)......(0)......(5)(6)fffff的值为_________.(5)(4)(5)(6)nSffff①(6)(5)(4)(5)nSffff②①+②得2(5)(6)(4)(5)(5)(4)(6)(5)nSffffffff1112()(1)22222nnfnfn,∴32nS