人船模型的建立及其应用.

1“人船模型”的建立及其应用山东省高青一中于正和动量守恒是高中的重点内容之一，也是高考考查的主要内容．在动量守恒问题中常见到这样一类问题：初态时系统总动量为零，在物体发生相对运动时，系统某一方向的动量守恒（如水平方向）．对于这类问题我们可以借用“人船模型”很方便的解决．建模如图1所示，长为Ｌ、质量为Ｍ的小船停在静水中，质量为ｍ的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？解析：以人和船组成的系统为研究对象，在人由船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以整个系统在水平方向动量守恒．当人起步加速前进时，船同时向后做加速运动；人匀速运动，则船匀速运动；当人停下来时，船也停下来．设某时刻人对地的速度为v，船对地的速度为V，取人行进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：mv－MV=0即MmvV因为人由船头走到船尾的过程中，每一时刻都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量之比成反比．因此人由船头走到船尾的过程中，人的平均速度v与船的平均速度V也与它们的质量成反比，即MmvV．而人的位移s人=vt，船的位移s船=Vt，所以船的位移与人的位移也与它们的质量成反比，即Mmss人船①①式是“人船模型”的位移与质量的关系，此式的适用条件：原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动的过程中，某一个方向的动量守恒．由图１可以看出：s船＋s人=Ｌ②由①②两式解得LmMMs人LmMms船应用模型解题例１．如图２所示，斜面长为L，倾角为θ、质量为M的斜面顶端上，有一质量为m、边长为l的正方形小物块由静止开始下滑，若不计一切摩擦，求小物块由顶端刚滑到底端过程中斜面在水平面上滑行的位移．解析：设末状态物块和斜面对地的速度分别为v、V，以斜面的运动方向为正方向，由动量守恒得：MV－mv=0由“人船模型”知：Mts1－mts2=0由图２知：s1+s2=(L－l)cosθ由以上两式解得s1=cos)(lLmMm例2．如图３所示，质量为m、半径为R的小球，放在半径为2R、质量为2m的大空心球内．大球开始静止在光滑的水平面上，当小球从图示位置无初速度沿大球内壁滚到最低点时，大球移动的距离是．解析：设大球运动的位移为s，由图3知小球运动的位移为(R－s)由“人船模型”知两球在水平方向动量守恒，因此有m(R－s)＝2ms解得：s＝3Rｓ船ｓ人图1s2s1图22例3．如图４所示，光滑水平面上有一小车，小车上固定一杆，总质量为M；杆顶系一长为L的轻绳，轻绳另一端系一质量为m的小球．绳被水平拉直处于静止状态(小球处于最左端)．将小球由静止释放，小球从最左端摆下并继续摆至最右端的过程中，小车运动的距离是多少？解析：该题立意新颖，但仔细分析与“人船模型”有相似之处，都是研究两个物体相互作用的过程，都具有水平方向合外力为零的特征，从而水平的动量守恒，初始状态球和车都处于静止状态，因此可借助“人船模型”来处理．设某时刻小球速度的水平分量为v(方向向右)，小车的速度为V(方向向左)，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律有：MV－mv=0即mMVv因为小球在摆动过程中，系统综动量在每时刻都等于零，所以每一时刻小球速度的水平分量与小车的速度都跟它们的质量成反比；从而可知小球从最左端摆至最右端的过程中，小球的水平位移s1与小车的位移s2与它们的质量成反比．即mMss21由图４知s1+s2=2L由以上两式解得s2=LMmm2可见只要八物理模型建好，解决物理问题并不难，希望以此能给同学们一点启示．R-ss图3s球s车图４