第五章--5.4平面向量的综合应用

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§5.4平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题,求参数范围、最值等问题是考查的热点,一般以选择题、填空题的形式出现,偶尔会出现在解答题中,属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ=a·b|a||b|(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量长度问题数量积的定义|a|=a2=x2+y2,其中a=(x,y),a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题.2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).4.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.概念方法微思考1.根据你对向量知识的理解,你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题?提示(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.2.如何用向量解决平面几何问题?提示用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题,最后把运算结果“翻译”成几何关系.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→,则A,B,C三点共线.(√)(2)在△ABC中,若AB→·BC→0,则△ABC为钝角三角形.(×)(3)若平面四边形ABCD满足AB→+CD→=0,(AB→-AD→)·AC→=0,则该四边形一定是菱形.(√)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:OP→=OA→+t(AB→+AC→),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.(√)题组二教材改编2.[P108A组T5]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析AB→=(2,-2),AC→=(-4,-8),BC→=(-6,-6),∴|AB→|=22+-22=22,|AC→|=16+64=45,|BC→|=36+36=62,∴|AB→|2+|BC→|2=|AC→|2,∴△ABC为直角三角形.3.[P113A组T1]平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP→·OA→=4,则点P的轨迹方程是____________.答案x+2y-4=0解析由OP→·OA→=4,得(x,y)·(1,2)=4,即x+2y=4.题组三易错自纠4.在△ABC中,已知AB→=(2,3),AC→=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,则实数k的值为________________.答案-23或113或3±132解析①若A=90°,则有AB→·AC→=0,即2+3k=0,解得k=-23;②若B=90°,则有AB→·BC→=0,因为BC→=AC→-AB→=(-1,k-3),所以-2+3(k-3)=0,解得k=113;③若C=90°,则有AC→·BC→=0,即-1+k(k-3)=0,解得k=3±132.综上所述,k=-23或113或3±132.5.在四边形ABCD中,AC→=(1,2),BD→=(-4,2),则该四边形的面积为________.答案5解析依题意得AC→·BD→=1×(-4)+2×2=0,所以AC→⊥BD→,所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|=12×5×20=5.6.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为坐标原点,则AO→·AP→的最大值为________.答案6解析方法一由题意知,AO→=(2,0),令P(cosα,sinα),则AP→=(cosα+2,sinα).AO→·AP→=(2,0)·(cosα+2,sinα)=2cosα+4≤6,故AO→·AP→的最大值为6.方法二由题意知,AO→=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,则AO→·AP→=(2,0)·(x+2,y)=2x+4≤6,故AO→·AP→的最大值为6.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4,若AB→·AC→=2AB→·AD→,则AD→·AC→=________.答案12解析(1)方法一因为AB→·AC→=2AB→·AD→,所以AB→·AC→-AB→·AD→=AB→·AD→,所以AB→·DC→=AB→·AD→.因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=π4,所以2|AB→|=|AB→||AD→|cosπ4,化简得|AD→|=22.故AD→·AC→=AD→·(AD→+DC→)=|AD→|2+AD→·DC→=(22)2+22×2cosπ4=12.方法二如图,建立平面直角坐标系xAy.依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m0,n0,则由AB→·AC→=2AB→·AD→,得(n,0)·(m+2,m)=2(n,0)·(m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2.故AD→·AC→=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.(2)(2018·广元统考)在△ABC中,AB=2AC=6,BA→·BC→=BA→2,点P是△ABC所在平面内一点,则当PA→2+PB→2+PC→2取得最小值时,AP→·BC→=________.答案-9解析∵BA→·BC→=BA→2,∴BA→·BC→-BA→2=BA→·(BC→-BA→)=BA→·AC→=0,∴BA→⊥AC→,即BA⊥AC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),∴PA→2+PB→2+PC→2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10].∴当x=2,y=1时,PA→2+PB→2+PC→2有最小值,此时AP→·BC→=(2,1)·(-6,3)=-9.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示.(2)基向量法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.跟踪训练1(1)(2019·松原三校联考)已知△ABC外接圆的圆心为O,AB=23,AC=22,A为钝角,M是BC边的中点,则AM→·AO→等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析∵M是BC边的中点,∴AM→=12(AB→+AC→),∵O是△ABC的外接圆的圆心,∴AO→·AB→=|AO→|·|AB→|cos∠BAO=12|AB→|2=12×(23)2=6.同理可得AO→·AC→=12|AC→|2=12×(22)2=4.∴AM→·AO→=12(AB→+AC→)·AO→=12AB→·AO→+12AC→·AO→=12×(6+4)=5.(2)(2018·聊城模拟)在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,点P是△ABC所在平面上的任意一点,则PA→·PB→+PA→·PC→的最小值为()A.1B.2C.-2D.-1答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).设点P的坐标为(x,y),则PA→=()-x,2-y,PO→=(-x,-y),故PA→·PB→+PA→·PC→=PA→·()PB→+PC→=2PA→·PO→=2()x2+y2-2y=2[]x2+()y-12-2≥-2,当且仅当x=0,y=1时等号成立.所以PA→·PB→+PA→·PC→的最小值为-2.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP→|=1,PM→=MC→,则|BM→|2的最大值是()A.434B.494C.37+634D.37+2334答案B解析如图,由|AP→|=1知点P的轨迹是以A为圆心,以1为半径的圆.由PM→=MC→知,点M为PC的中点,取AC的中点N,连接MN,则|MN|=12|AP|=12,所以点M的轨迹是以N为圆心,以12为半径的圆.因为|BN→|=3,所以|BM→|的最大值为3+12=72,|BM→|2的最大值为494.故选B.(2)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若PA→·PB→≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.答案[-52,1]解析方法一因为点P在圆O:x2+y2=50上,所以设P点坐标为(x,±50-x2)(-52≤x≤52).因为A(-12,0),B(0,6),所以PA→=(-12-x,-50-x2)或PA→=(-12-x,50-x2),PB→=(-x,6-50-x2)或PB→=(-x,6+50-x2).因为PA→·PB→≤20,先取P(x,50-x2)进行计算,所以(-12-x)·(-x)+(-50-x2)(6-50-x2)≤20,即2x+5≤50-x2.当2x+50,即x-52时,上式恒成立.当2x+5≥0,即x≥-52时,(2x+5)2≤50-x2,解得-52≤x≤1,故x≤1.同理可得P(x,-50-x2)时,x≤-5.又-52≤x≤52,所以-52≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[-52,1].方法二设P(x,y),则PA→=(-12-x,-y),PB→=(-x,6-y).∵PA→·PB→≤20,∴(-12-x)·(-x)+(-y)·(6-y)≤20,即2x-y+5≤0.如图,作圆O:x2+y2=50,直线2x-y+5=0与⊙O交于E,F两点,∵P在圆O上且满足2x-y+5≤0,∴点P在EDF上.由x2+y2=50,2x-y+5=0,得F点的横坐标为1,又D点的横坐标为-52,∴P点的横坐标的取值范围为[-52,1].思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量),a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.跟踪训练2(2019·重庆质检)已知圆C:x2+y2-2x-23y+3=0,点A(0,m)(m0),A,B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M,使得AM→·BM→=0,则当m取得最大值时,点M的坐标是()A.32,322B.322,32C.32,332D.332,32答案C解析由题意得圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1,B(0,-m),设M(x,y),由于AM→·BM→=0,所以(x,y-m)·(x,y+m)=0,所以x2+y2-m2=0,所以m2=x2+y2,由于x2

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