第五章--5.4平面向量的综合应用

§5.4平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．(√)(2)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形．(×)(3)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是菱形．(√)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)题组二教材改编2．[P108A组T5]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，∴|AB→|＝22＋－22＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62，∴|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，∴△ABC为直角三角形．3．[P113A组T1]平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是____________．答案x＋2y－4＝0解析由OP→·OA→＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.题组三易错自纠4．在△ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．答案－23或113或3±132解析①若A＝90°，则有AB→·AC→＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－23；②若B＝90°，则有AB→·BC→＝0，因为BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝113；③若C＝90°，则有AC→·BC→＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝3±132.综上所述，k＝－23或113或3±132.5．在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．答案5解析依题意得AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC→⊥BD→，所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×5×20＝5.6．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则AO→·AP→的最大值为________．答案6解析方法一由题意知，AO→＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则AP→＝(cosα＋2，sinα)．AO→·AP→＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.方法二由题意知，AO→＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO→·AP→＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝________.答案12解析(1)方法一因为AB→·AC→＝2AB→·AD→，所以AB→·AC→－AB→·AD→＝AB→·AD→，所以AB→·DC→＝AB→·AD→.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB→|＝|AB→||AD→|cosπ4，化简得|AD→|＝22.故AD→·AC→＝AD→·(AD→＋DC→)＝|AD→|2＋AD→·DC→＝(22)2＋22×2cosπ4＝12.方法二如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m0，n0，则由AB→·AC→＝2AB→·AD→，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD→·AC→＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.(2)(2018·广元统考)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA→·BC→＝BA→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值时，AP→·BC→＝________.答案－9解析∵BA→·BC→＝BA→2，∴BA→·BC→－BA→2＝BA→·(BC→－BA→)＝BA→·AC→＝0，∴BA→⊥AC→，即BA⊥AC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，∴PA→2＋PB→2＋PC→2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]．∴当x＝2，y＝1时，PA→2＋PB→2＋PC→2有最小值，此时AP→·BC→＝(2,1)·(－6,3)＝－9.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．跟踪训练1(1)(2019·松原三校联考)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则AM→·AO→等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析∵M是BC边的中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∵O是△ABC的外接圆的圆心，∴AO→·AB→＝|AO→|·|AB→|cos∠BAO＝12|AB→|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO→·AC→＝12|AC→|2＝12×(22)2＝4.∴AM→·AO→＝12(AB→＋AC→)·AO→＝12AB→·AO→＋12AC→·AO→＝12×(6＋4)＝5.(2)(2018·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为()A．1B．2C．－2D．－1答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．设点P的坐标为(x，y)，则PA→＝()－x，2－y，PO→＝(－x，－y)，故PA→·PB→＋PA→·PC→＝PA→·()PB→＋PC→＝2PA→·PO→＝2()x2＋y2－2y＝2[]x2＋()y－12－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．所以PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为－2.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是()A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案B解析如图，由|AP→|＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．由PM→＝MC→知，点M为PC的中点，取AC的中点N，连接MN，则|MN|＝12|AP|＝12，所以点M的轨迹是以N为圆心，以12为半径的圆．因为|BN→|＝3，所以|BM→|的最大值为3＋12＝72，|BM→|2的最大值为494.故选B.(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．答案[－52，1]解析方法一因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52)．因为A(－12,0)，B(0,6)，所以PA→＝(－12－x，－50－x2)或PA→＝(－12－x，50－x2)，PB→＝(－x,6－50－x2)或PB→＝(－x,6＋50－x2)．因为PA→·PB→≤20，先取P(x，50－x2)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2.当2x＋50，即x－52时，上式恒成立．当2x＋5≥0，即x≥－52时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－52≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5.又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]．方法二设P(x，y)，则PA→＝(－12－x，－y)，PB→＝(－x,6－y)．∵PA→·PB→≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在EDF上．由x2＋y2＝50，2x－y＋5＝0，得F点的横坐标为1，又D点的横坐标为－52，∴P点的横坐标的取值范围为[－52，1]．思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．跟踪训练2(2019·重庆质检)已知圆C：x2＋y2－2x－23y＋3＝0，点A(0，m)(m0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得AM→·BM→＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是()A.32，322B.322，32C.32，332D.332，32答案C解析由题意得圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，B(0，－m)，设M(x，y)，由于AM→·BM→＝0，所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，由于x2