【数学】1.3.2《利用导数研究函数的极值》课件

一、1.解2463)(2xxxf，令0)(xf)2)(4(3xx32()32420fxxxx求出函数的单调区间124,2xx得临界点区间(-∞，-4)-4(-4，2)2(2，+∞)f’(x)00f(x)f(x)在(-∞，-4)、(2，＋∞)内单调递增，你记住了吗？有没搞错，怎么这里没有填上？求导数—求临界点—列表—写出单调性++-f’(x)0(x+4)(x-2)0x-4或x2f(x)在(-4，2)内单调递减。f’(x)0(x+4)(x-2)0-4x22.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f/（x）;③解不等式f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.定义域为R时可省二、新课讲解——函数的极值:1.观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，这时我们说f(0)是函数的一个极大值；0是函数的一个极大值点。函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值，2是函数的一个极小值点。x2y0cdefoghijxyxfyaboxyxfy103.1图113.1图aboxyxfy103.1图.0xf,0xfax;0af,axafaxxfy,,b,a'''右侧近的左侧附而且在点点的函数值都小附近其他它在点比的函数值点在函数以发现我们可两点为例以.0xf,0xfbx;0bf,bxbfbxxfy,'''右侧附近的左侧而且在点大都值的函数点其他附近在点比它的函数值在点函数类似地aboxyxfy103.1图;xfyaf,xfya的叫做函数的极小值点叫做函数我们把点极小值;xfybf,xfyb的函数叫做的极大值点叫做函数点极大值.valueextreme.极小值统称极大值和称为极小值点、极大值点统极值点极值.,的是函数的局部性质刻画点附近的大小情况极值反映了函数在某一oaX00bxy0)(0xf0)(xf0)(xfoaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即0)(xf.0)(xf同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.0)(xf0)(xf三.探索思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:3、(1):如果在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧f’(x)0右侧f’(x)0,那么f(x0)是极小值.2、求方程f/(x)=0的所有实数根1、求导数f’(x)四、例题选讲:例1:求y=x3/3-4x+4的极值.解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.总结：1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;,0)(,0)(xfxf(2):如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,0)(,0)(xfxf3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法.x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2:求函数的极值.)0()(2axaxxf解:函数的定义域为),,0()0,(.))((1)(222xaxaxxaxf令,解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xf练习1:求函数的极值.216xxy解:.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极大值-3↗极小值3↘因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:).35(35)(2224baxxbxaxxf由题意,应有根,故5a=3b,于是:10)(xxf).1(5)(22xaxxf(1)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极小值↘极大值↗)(xf)1,(),1(由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下:x-1(-1,1)1-0≥00-f(x)↘极小值↗极大值↘)1,(),1()(xf由表可得,即.04)1(0)1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf-3/11x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.例1:已知函数f(x)满足条件:①当x2时,;②当x2时,;③.求证:函数y=f(x2)在处有极小值.0)(xf0)2(0)(fxf2x证:设g(x)=f(x2),则.2)()(2xxfxg故当时,x22,由条件①可知,即:2x0)(2xf;02)()(2xxfxg当时,x22,由条件②可知,即:20x0)(2xf;02)()(2xxfxg又当时,.022)2()2(2fgx所以当时,函数y=f(x2)取得极小值.2x为什么要加上这一步?例2:已知:(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.).0(1)(2axbaxxf解:(1).)1(2)1()(2)1()(222222xabxaxxbaxxxaxf令,得-ax2-2bx+a=0,Δ=4b2+4a20,0)(xf故有不相等的两实根α、β,设αβ.0)(xf又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负.注意到与g(x)的符号相同,可知α为极小值点,β为极大值点.)(xf(2)由f(α)=-1和f(β)=1可得:.1122baba两式相加,并注意到α+β=-2b/a,于是有:.0,02,0,,02)2(22babbaba从而方程可化为x2=1,它的两根为+1和-1,即α=-1,β=1.0)(xf由.2121)(2aabaf故所求的值为a=2,b=0.