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第十二节定积分的概念与微积分基本定理考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念;(2)了解微积分基本定理的含义.定积分的计算★★在高考中本节多以选择题、填空题的形式考查,难度以中易题为主,主要考查利用微积分基本定理进行定积分的计算,利用定积分的几何意义求平面图形的面积以及与其他知识相结合,如与函数、二项式定理、概率等相结合,训练中要特别关注.求平面图形的面积★★★★定积分的实际应用★1.定积分的相关概念(1)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式∑𝑖=1𝑛f(ξi)Δx=∑𝑖=1𝑛𝑏-𝑎𝑛f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎f(x)dx,即𝑏𝑎f(x)dx=lim𝑛→∞∑𝑖=1𝑛b-an·f(ξi).a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.(2)求定积分的四个步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.2.定积分运算律(1)𝑏𝑎kf(x)dx=k𝑏𝑎f(x)dx(k为常数);(2)𝑏𝑎[f1(x)±f2(x)]dx=𝑏𝑎f1(x)dx±𝑏𝑎f2(x)dx;(3)𝑏𝑎f(x)dx=𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx(其中acb).3.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么𝑏𝑎f(x)dx=F(x)𝑎𝑏=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理(其中F(x)叫做f(x)的一个原函数).4.定积分的几何和物理应用(1)定积分在几何中的应用①如图所示,由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)及直线x=a,x=b(ab)围成图形的面积为S=𝑏𝑎f1(x)dx-𝑏𝑎f2(x)dx.②如图所示,在区间[a,b]上,若f(x)≤0,则曲边梯形的面积为S=𝑏𝑎f(x)dx=-𝑏𝑎f(x)dx.(2)定积分在物理中的应用①作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即s=𝑏𝑎v(t)dt.②如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(ab),那么变力F(x)所做的功W=𝑏𝑎F(x)dx.5.常用的数学方法与思想数形结合思想、分类讨论思想.1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则𝑏𝑎f(x)dx=𝑏𝑎f(t)dt.()(1)√(2)若𝑏𝑎f(x)dx0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(2)×(3)若f(x)是偶函数,则𝑎-𝑎f(x)dx=2𝑎0f(x)dx.()(3)√(4)若f(x)是奇函数,则𝑎-𝑎f(x)dx=0.()(4)√2.求曲线y=x3与y=x所围成图形的面积可由下面哪个表达式求解()A.S=10(x-x3)dxB.S=210(x-x3)dxC.S=1-1(x-x3)dxD.S=210(y-y3)dy2.B【解析】作出y=x,y=x3两个函数的图象,易知其所围成的面积可由B项表示式求解.3.(2015·湖南长郡中学一模)20(4-x2+x)dx的值为()A.2+πB.2+𝜋2C.4+2πD.4+4π3.A【解析】20(4-x2+𝑥)d𝑥=204-x2d𝑥+20xdx,而204-x2d𝑥的几何意义为以原点为圆心,2为半径,14的圆的面积,即204-x2d𝑥=π,而20𝑥d𝑥=12𝑥202=2,故20(4-x2+𝑥)d𝑥=204-x2d𝑥+20xdx=2+π.4.直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为()A.223B.8C.323D.1634.C【解析】结合图象易知封闭区域面积为40(4𝑥−𝑥2)d𝑥=2x2-13x304=323.5.(2015·湖南高考)20𝑥-1)dx=.5.0【解析】20(𝑥−1)d𝑥=12x2-x02=12×22-2=0.考点1定积分的计算典例1计算:(1)π30(sinx-sin2x)dx;【解题思路】函数sinx-sin2x的其中一个原函数为-cosx+12cos2x,π30(sinx-sin2x)dx=-cos𝑥+12cos2𝑥0π3=-12-14−-1+12=-14.【参考答案】-14(2)(2015·大庆质检)计算:10(ex+2x)dx.【解题思路】找出函数ex+2x的原函数,10(ex+2x)dx=(ex+x2)01=(e+1)-(e0+0)=e.【参考答案】e★备用典例计算:21|3-2x|dx.【解题思路】注意分段进行求解,21|3-2x|dx=321|3−2𝑥|d𝑥+232|3-2x|dx=321(3−2𝑥)d𝑥+232(2x-3)dx=(3x-x2)132+(𝑥2−3𝑥)322=12.【参考答案】12计算一些简单的定积分的解题的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积、和或差;(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.注意:对于不便求出被积函数的原函数的,可考虑用定积分的几何意义求解.1.(2015·甘肃张掖中学月考)计算101𝑥+1+2𝑥dx=.1.1+ln2【解析】101𝑥+1+2𝑥d𝑥=[ln(𝑥+1)+𝑥2]01=ln2+1.2.计算:101-𝑥2dx=.2.π4【解析】∵𝑦=1-𝑥2,∴𝑥2+𝑦2=1,𝑦≥0.而101-𝑥2d𝑥的几何意义为14个圆的面积,又∵𝑆=π×𝑟2=π×1=π,∴101-𝑥2d𝑥=π4.★备用练习(2015·邢台摸底)已知a=π2-π2cosxdx,则𝑎𝑥2-1𝑥5的二项展开式中,x的系数为.-40【解析】因为a=π2-π2cos𝑥d𝑥=2π20cos𝑥d𝑥=2(sin𝑥)0π2=2sinπ2-sin0=2,所以𝑎𝑥2-1𝑥5=2𝑥2-1𝑥5,其通项公式为𝑇𝑟+1=C5𝑟(2𝑥2)5−𝑟-1𝑥𝑟=(−1)𝑟C5𝑟·25−𝑟𝑥10−3𝑟,令10−3𝑟=1⇒𝑟=3,所以𝑥的系数为(−1)3C5322=-40.考点2求平面图形的面积典例2(2015·天冿高考)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.【解题思路】由定积分的几何意义可得S=10(𝑥−𝑥2)d𝑥=12𝑥2-13𝑥301=16.【参考答案】16求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤(1)画草图;(2)求曲线的交点确定积分上、下限;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算,用微积分基本定理公式计算.注意:被积函数较复杂或积分区间不易确定时可通过转换积分变量进行简化计算.【变式训练】求由曲线y=x2和直线y=x和y=2x围成的图形的面积.【解析】如图所示,所求的面积S=S△AOC+S1,其中S1是线段AC,BC和抛物线段AB围成的区域的面积.由𝑦=𝑥2,𝑦=𝑥和𝑦=𝑥2,𝑦=2𝑥,分别解出O,A,B三点的横坐标分别是0,1,2,故所求的面积S=10(2𝑥−𝑥)d𝑥+21(2x-x2)dx=𝑥2201+𝑥2-13𝑥312=12+4-83−1-13=76.考点3定积分的实际应用典例4(2015·陕西高考)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解题思路】以梯形的上底所在直线为x轴,上底的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则抛物线x2=2py,p0经过点(5,2),代入解得抛物线方程为x2=252𝑦,即𝑦=225𝑥2,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为12×(3+5)×22-225𝑥250d𝑥=82𝑥-275𝑥3|05=8203=1.2.【参考答案】1.2定积分的实际应用要注意以下几点(1)审清题的含义,分清已知与未知;(2)构建与定积分有关的模型(如与面积有关,与概率有关、与流量有关等),写出定积分;(3)求解定积分;(4)返回到实际中验算.【变式训练】(2015·东北三省三校一模)不等式组-2≤𝑥≤2,0≤𝑦≤4表示的点集记为A,不等式组𝑥-𝑦+2≥0,𝑦≥𝑥2表示的点集记为B,在A中任取一点P,则P∈B的概率为()A.932B.732C.916D.716A【解析】分别画出点集A,B如图,A对应的区域面积为4×4=16,B对应的区域面积如图阴影部分,面积为2-1(𝑥+2−𝑥2)d𝑥=12𝑥2+2𝑥-13𝑥3-12=92,由几何概型公式得,在𝐴中任取一点𝑃,则𝑃∈𝐵的概率为9216=932.易错点突破:对定积分的几何意义理解不到位,表达不正确典例(2015·淄博一模)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为()A.20|x2-1|dxB.(20𝑥2-1)d𝑥C.20(x2-1)dxD.10(x2-1)dx+21(1-x2)dx【解题思路】由于图形与x轴有相交,在x轴上、下各有部分面积,当图形在x轴上方时,其面积为正值也是对应的定积分,但当图形在x轴下方时,其面积为定积分的相反数.由图或由曲线y=|x2-1|的对称性可知,所求阴影部分的面积S=20|x2-1|dx.【参考答案】A利用定积分求图象所围成的阴影部分的面积时要注意以下三点(1)利用数形结合的方法确定出被积函数和积分函数的上限与下限;(2)要注意图象与x轴的位置关系,当图形在x轴下方时,其面积为定积分的相反数;(3)利用函数图象的对称性整体考查写成一个定积分也可以写成多个定积分的和.【针对训练】2-2(sinx+2x3)dx=.0【解析】因为y=sinx+2x3是奇函数,所以2-2(sinx+2x3)dx=0.