常用放缩方法技巧

1/6常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3lg2；2)1()1(nnnn⑷二项式放缩:nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,2222210nnCCCnnnn)2)(1(2nnnn(5)利用常用结论：Ⅰ.1k的放缩：222121kkkkkⅡ.21k的放缩(1)：2111(1)(1)kkkkk（程度大）Ⅲ.21k的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kkkkkk（程度小）Ⅳ.21k的放缩(3)：2214112()412121kkkk（程度更小）Ⅴ.分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例：()(0)1xfxxx，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()fabfab。一．先求和再放缩例1.)1(1nnan,前n项和为Sn，求证：1ns例2.nna)31(,前n项和为Sn，求证：21ns2/6二．先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例3．数列{}na，11(1)nnan，其前n项和为ns，求证：222ns（二）放缩后转化为等比数列。例4.{}nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb（1）用数学归纳法证明：nbn（2）1231111...3333nnTbbbb，求证：12nT三、裂项放缩例5.(1)求nkk12142的值;(2)求证:35112nkk.例6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn(2)求证:nn412141361161412(3)求证：)112(2131211)11(2nnn3/6例7.求证:35191411)12)(1(62nnnn例8.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.四、分式放缩姐妹不等式:)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(nn和121)211()611)(411)(211(nn也可以表示成为12)12(5312642nnn和1212642)12(531nnn例10.证明:.13)2311()711)(411)(11(3nn4/6五、均值不等式放缩例11.设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn例12.已知函数bxaxf211)(，a0,b0,若54)1(f，且)(xf在[0，1]上的最大值为21，求证：.2121)()2()1(1nnnfff六、二项式放缩nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,2222210nnCCCnnnn)2)(1(2nnnn例13.设Nnn,1，求证)2)(1(8)32(nnn.例14.nna32,试证明：.121111424nnnaaa≤5/6七、部分放缩(尾式放缩)例15.求证:74123112311311n例16.设ana211.2,131anaa求证：.2na八、函数放缩例17.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.例18.求证:)2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn例19.求证:nnn1211)1ln(1131216/6九、借助数列递推关系例20.若1,111naaann,求证:)11(211121naaan例21.求证:1222642)12(531642531423121nnn十、分类放缩例22.求证:212131211nn