常数项级数的概念和性质

§1常数项级数的概念和性质【目的要求】1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别；2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义；3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性．【重点难点】数项级数的概念与性质．【教学内容】一、常数项级数的概念定义1.1给定一个无穷实数列{}nu：12,,,,nuuu则由这数列构成的表达式12nuuu叫做常数项无穷级数简称常数项级数记为1nnu即1231nnnuuuuu其中第n项nu叫做级数的一般项(或通项)级数1nnu的前n项和1231nninisuuuuu称为级数1nnu的前n项部分和部分和构成的数列12{}:,,,nnssss称为部分和数列.定义1.2如果级数1nnu的部分和数列}{ns收敛即ssnnlim(s为一实数)则称无穷级数1nnu收敛并称s为级数1nnu的和并写成1231nnnsuuuuu如果}{ns发散则称无穷级数1nnu发散级数的收敛和发散统称为敛散性.当级数1nnu收敛时其部分和ns是级数1nnu的和s的近似值它们之间的差nnrss称为级数1nnu的余项ns和s之间的误差可由||nr去衡量,由于ssnnlim,所以lim||0nnr例1讨论等比级数(几何级数)20nnnaqaaqaqaq,(0a)的敛散性.解如果1q则部分和21111nnnnaaqaaqsaaqaqaqqqq当||1q时因为qasnn1lim所以此时级数nnaq0收敛其和为qa1当||1q时因为limnns不存在所以此时级数nnaq0发散如果||1q则当1q时因为limnns不存在因此此时级数nnaq0发散当1q时级数nnaq0成为aaaa因为limnns不存在因此此时级数nnaq0发散.综上所述如果||1q则级数nnaq0收敛其和为qa1如果||1q则级数nnaq0发散例2证明级数0123nnn是发散的证此级数的部分和为2)1(321nnnsn显然nnslim因此该级数是发散的例3判别无穷级数011111(1)122334(1)nnnnn的收敛性解部分和111)1(1nnnnun由于)1(1431321211nnsn111)111()3121()211(nnn从而1)111(limlimnsnnn所以该级数收敛其和是1以上几个例题,都是先将部分和ns的表达式算出,然后讨论limnns是否存在,从而判断级数的敛散性.然而对绝大多数级数来说,ns的表达式难以计算,而且实际问题中往往只需知道一个级数是收敛还是发散,并不奢望对每个级数都求出其和,因此我们有必要研究某些直接从一般项nu的形式就可以判断1nnu敛散性的简明法则.为此,先对级数的基本性质展开一些讨论.二、收敛级数的基本性质性质1如果级数1nnu收敛于和sk为任意常数,则级数1nnku也收敛且其和为ks证设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n则)(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21所以级数1nnku收敛且和为ks性质2如果级数1nnu、1nnv分别收敛于和s、则级数)(1nnnvu也收敛且其和为s证设1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为sn、n、n则)]()()[(limlim2211nnnnnvuvuvu)]()[(lim2121nnnvvvuuussnnn)(lim所以级数)(1nnnvu收敛且和为s.性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数11111122334(1)nnunn是收敛的级数110000nnu也是收敛的级数3nnu也是收敛的性质4设级数1nnu收敛其和为s,则保持级数原有顺序对其任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变注意如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数(11)(11)收敛于0但级数1111却是发散的推论如果保持原有顺序添加括号后所成的级数发散则原来级数也发散性质5(级数收敛的必要条件)如果1nnu收敛则它的一般项nu趋于零即0lim0nnu证设级数1nnu的部分和为ns且ssnnlim则0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn注意性质5只是级数收敛的必要条件,而不是充分条件,即一般项趋于零的级数不一定收敛但可以用性质5的逆否命题来判断一个级数的发散.推论若0lim0nnu，则级数1nnu发散.由此结论,我们马上可知下列级数:1(0)nnaa,11(1)nn,11(1)nnn,1(1)nn是发散的.应当注意,尽管有些级数的一般项趋向于零,但仍是发散的.例4证明调和级数11111123nnn是发散的证假若级数11nn收敛且其和为sns是它的部分和显然有ssnnlim及ssnn2lim于是0)(lim2nnnss但另一方面212121212121112nnnnnnssnn故0)(lim2nnnss矛盾这矛盾说明级数11nn必定发散§2常数项级数的审敛法【目的要求】1、理解正项级数的定义、性质、收敛的充分必要条件；2、掌握三种判别法使用区别．3、了解绝对收敛与条件收敛等概念；4、熟练掌握交错级数收敛的判别法；5、熟练掌握绝对收敛与条件收敛的判别法．【重点难点】正项级数的特有性质及判别法．区分绝对收敛与条件收敛．【教学内容】一般的常数项级数,它的各项可以是正数、负数或者零.现在我们先讨论各项都是非负的级数——正项级数.这种级数特别重要,以后将看到许多级数的敛散性问题可归结为正项级数的收敛性问题.一、正项级数及其审敛法定义2.1若级数1nnu的各项均非负,即0nu,则称该级数为正项级数设级数1231nnnuuuuu(1)是一个正项级数,它的部分和为ns.显然,数列{}ns是一个单调递增数列.如果数列{}ns有界,根据单调有界的数列必有极限的准则,级数(1)必收敛于s.反之,如果正项级数(1)收敛于s,即ssnnlim,根据有极限的数列是有界数列的性质可知,数列{}ns有界.因此,我们得到如下重要的结论.定理2.1正项级数1nnu收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}ns有界由定理2.1可知,如果正项级数1nnu发散,则它的部分和数列ns(n),即1nnu由此,可得关于正项级数的一个基本的审敛法.定理2.2(比较审敛法)设1nnu和1nnv都是正项级数且nnuv(1,2,n).若级数1nnv收敛则级数1nnu收敛反之若级数1nnu发散则级数1nnv发散证设级数1nnv收敛于和则级数1nnu的部分和1212(1,2,)nnnsuuuvvvn即部分和数列{}ns有界由定理2.1知级数1nnu收敛反之设级数1nnu发散则级数1nnv必发散因为若级数1nnv收敛由上已证明的结论将有级数1nnu也收敛与假设矛盾推论设1nnu和1nnv都是正项级数如果级数1nnv收敛且存在自然数N使当nN时,有nnukv(0k)成立则级数1nnu收敛如果级数1nnv发散且当nN时,有nnukv(0k)成立则级数1nnu发散例1讨论p级数1111111234pppppnnn的收敛性其中常数0p解设1p这时nnp11而调和级数11nn发散由比较审敛法知当1p时级数pnn11发散设1p,且1nxn时有1111111111dd[]1(1)nnpppppnnxxnnxpnn(2,3,n)对于级数]1)1(1[112ppnnn其部分和111111)1(11])1(11[]3121[]211[ppppppnnnns因为1])1(11[limlim1pnnnns所以级数]1)1(1[112ppnnn收敛从而根据比较审敛法的推论可知级数pnn11当1p时收敛综上所述p-级数pnn11当1p时收敛当1p时发散例2证明级数1)1(1nnn是发散的证因为11)1(1)1(12nnnn而级数113121111nnn是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理2.3(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数0nv,且lvunnnlim,则(1)当0l时级数1nnv与1nnu同时收敛或同时发散(2)当0l时,若级数1nnv收敛则级数1nnu收敛;若1nnu发散,则1nnv发散.(3)当l时,若级数1nnv发散则级数1nnu发散;若1nnu收敛,则1nnv收敛.例3判别级数11sinnn的收敛性解因为111sinlimnnn而级数11nn发散根据比较审敛法的极限形式级数11sinnn发散例4判别级数12)11ln(nn的收敛性解因为11)11ln(lim22nnn而级数211nn收敛根据比较审敛法的极限形式级数12)11ln(nn收敛定理2.4(比值审敛法达朗贝尔判别法)设1nnu为正项级数对任意1n,有nnnuu1lim则(1)当01时,级数1nnu收敛(2)当1时,级数1nnu发散(3)当1时,级数1nnu可能收敛也可能发散例5证明级数)1(32113211211111n是收敛的解因为101lim321)1(321limlim1nnnuunnnnn根据比值审敛法可知所给级数收敛例6判别级数10!10321102110132nn的收敛性解因为101lim!1010)!1(limlim11nnnuunnnnnnn根据比值审敛法可知所给级数发散例7判别级数nnn2)12(1的收敛性解1)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性因为212)12(1nnn而级数211nn收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛定理2.5(根值审敛法柯西判别法)设1nnu是正项级数