物体的平衡

CAI使用说明1、斜体文字——表示有备注供查看2、加下划线的变色文字——表示有超链接3、——表示返回至链接来处4、——表示到上一张幻灯片5、——表示到下一张幻灯片6、——表示到首页中学物理奥赛解题研究第三专题物体的平衡解题知识与方法研究一、两种重要的约束二、利用对称性确定力的方向三、多摩擦点何处“打滑”的确定一、两种特殊的约束1、何谓约束作为研究对象的物体的位置所受到的其他物体的限制，称为约束.绳的约束使球只能沿圆弧运动斜面和绳的共同约束使球被限制在斜面上的特定位置.绳子、物面均为常见的约束！v斜面的约束使球只能沿斜面运动v解题知识与方法研究2-1、光滑铰链2-1-1、概念：使物体上的一点保持不动的一种约束.2-1-2、分类：为柱铰链和球铰链两种.2、两种常见的约束1图2图3图图1、图2为柱铰链，图3为球铰链.铰链实例：2-1-3、性质:（1）光滑铰链与物体间的作用力(弹力)通过铰链的中心（柱轴或球心）G物体绕铰链自由转动实例：GF铰链的施力与受力实例：受力施力施力受力受力施力（2）物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由转动,可绕球铰链无摩擦地在三维空间自由转动.2-2、连杆2-2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体相连，仅两端受力.2-2-2、性质：（1）无论静止还是运动，其两端受力必为一对平衡力，方向沿杆长方向.（2）通过连杆，只能沿杆长方向向其他物体施力.1vv2Gv连杆实例：G连杆施力1vv2v你能不能证明这一性质？连杆受力使两物体上的两点的距离一定.例1如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉力器构成的正方形框架.A、B、C、D四处由铰链连接，AC杆和BD杆交汇处不连接.如果调节拉力器，使它产生拉力为T，问：各杆受到的力是拉力还是压力？各力的大小等于多少？ABCD解AB杆：ABTADTAD杆：对铰链A的拉力TAB(=T)必然水平向右.对铰链A的力不能是向上的压力，只能是向下的拉力TAD.AC杆：对铰链A只能是压力TAC，方向沿CA.ACT()ABADT、DCT进而可得到2ACTTTBDT根据对称性可知：BD杆：对铰链B的压力TBD=TAC=T,方向沿DB.DC杆：对铰链D的拉力TDC=TAB=T,方向向右.BC杆：对铰链B的拉力TBC=TAD=T,方向向下.BCT要使AB和AD杆的合力T(AB、AD)与TAC反向且等大，ADABTTT必须21OK例2五根质量与长度均相同的匀质细棒用质量与线度均可忽略不计的光滑铰链两两首尾连成一个五边形.今将其一个顶点挂在天花板下.试求平衡时此五边形的五个顶角.又若在最下边的细棒的中点再悬挂一重物，能否使五根细棒构成一个等腰三角形？解设每根棒质量为m，长为l.TTT12mgmgmg52mg隔离研究左边两棒的受力情况：将二者的链接处的受力进行分解，其受力如图所示.对左边上面的棒：0OM由得1115cossinsin22lTlmgmgl对左边下面的棒：得由0KM2221cossinsin22lTlmgmgl又由几何关系得12sinsin2lll只需求出图中的Φ1、Φ2即可32mgT32mg21OKTTTTmgmg12mg52mg由①、②两式得122tantan即22122222sinsin41sin1sin④③代入④化简后，令1sin:x43212129410xxxx利用计算器进行一元高次方程的逼近求解432()12129410fxxxxx令121sinsin2将此三方程简化为12tanTmg2tanTmg①②③432()12129410fxxxxx令21OKTTTTmgmg12mg52mg01:x在＜＜的范围内尝试取值x)(xf0.10.20.150.170.1710.17150.5-0.240.160.0110.0031-0.00085取使f(x)最接近零的x值：x=0.1715211sinsin0.32852由计算器查得：Φ1=9.9°,Φ2=19.20°于是有1sin0.1715,1sinx121sinsin2所以五边形的个顶角为：侧方内顶角为0012180189.3下方内顶角为0029070.82φ1=19.8°上方内顶角为假设能构成等腰三角形，看其是否满足平衡条件.对左侧上面的棒，0:OM由得1cossin(5)sin22lTlmgmMgl对下面的棒，0KM由得：1cossin()sin22lTlmgmMgl由此两式得11sin()sin(5)sin22mglmMglmMgl解得m=0这表明在五根细棒质量不为零时不可能构成等腰三角形.题后总结本题的杆不具有连杆的施力与受力性质.本题的假定法研究非平衡问题时很有用；OKTTTTmgmg1()2mMg1(5)2mgMgM1(3)2mMg1(3)2mMg即sin0mABDCAvDvBv例3四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个菱形，开始时菱形为正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动.如图所示，在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁，C球与其相碰后立即停止运动.试求碰后瞬间A球的速度vA.vABDC解碰后瞬间各球的运动如图.III设碰撞中C球所受的冲量为I，则对整个系统由动量定理得A、B、D球的速度有关系cos45BDAvvv①(cos45cos45)4ABDImvmvmvmv②将①代入②化简得4-2AImvmv③设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I′.对C球由动量定理得2cos450IImvmv即2ImvI④x判断碰后瞬间的形状和各球速度方向？ABDCAvDvBvIIIBC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I′.II0cos45cos45Imvmv即2mvI⑤由③、④、⑤式便可解出（或D）球，在BC（或DC）方向上由动量定理有对B4-2AImvmv③2ImvI④.AvvxABDCAvDvBvx另解碰后瞬间各球的运动如图.A、B球的速度有关系cos45BAvv①对（A+B）系统，在杆长方向动量守恒：cos452cos45ABmvmvmv②cos452cos45ABvvv即由①、②即可解出.Avv题后思考此结果有点意外，该如何解释?假设C球与直壁的碰撞不是完全非弹性，还有vA=v的结果吗？计算一下看看情况如何.vABDCABDCAvDvBvIIIII.Avv二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向例如图，三根不光滑的质量、形状完全相同的杆对称的架立在水平不光滑地面上.试确定各杆受其他杆的作用力的方向？你认为是哪种情况？为什么？对称：系统的某种属性、状态经某种操作（或变换）后能保持不变，便称系统的这种属性、状态对此操作（或变换）具有对称性（或者说是对称的）.ABCAFBFCF三力斜向上ABCAFBFCF三力斜向下ABC三力水平BFCFAFPPAWP例4如图所示的机构由两长两短的四根轻杆通过光滑铰链连接而成,四根杆的尺寸已在图中标出.机构竖放在光滑水平面上.W和P、P′为所加的外力,求：（1）平衡时与的关系;（2）铰链O对所连接的两杆的作用力..PPBCONNBF2sinAWF如图，AB杆为二力轻杆，其A端受力FA沿A→B方向，B端受力FB沿B→A方向.2sinBAWFF于是有解（1）分解W得BE杆的B端受力与为作用与反作用力，BFBF0OM由得sin2BFasin2cossin2sinWaNaPa即①aaaaaaFBAFWDE2sinBBWFF故BE杆是不是二力连杆？cosNasinPa研究AB杆：研究BE杆：能否判断铰链O对连接的两杆的作用力的方向？对整个机构，0yF由得2WN②由①②解得2tan3WP（2）据对称性可知铰链O对BE杆的作用力沿水平方向.0xF由知cosBEBFPF方向水平向右.铰链O对CD杆的作用力大小为cot.2CDBEWFFP方向水平向左.题后总结与思考综合利用了对称性分析和连杆的性质假定FBE倾斜，进行计算，看看结果？PPABCONNFBEBFaaaaaaFBAFWDEcoscot.2sin2WWPPsin2cossin2sinWaNaPa①ABC1122何处打滑？何处打滑？1、实例判断何接触处的静摩擦力先达到最大：2、判断处理的方法三、多摩擦点何处“打滑”的判断12FF12何处打滑？2-1、已知各处的静摩擦系数相同，摩擦力始终相等，则可根据各处压力大小进行判断111.fN212fN，12ff，12=..N小处先打滑假定一处静摩擦力达到最大根据平衡条件计算他处的摩擦力与他处的最大静摩擦力比较大小何处打滑？12FABC1122何处打滑？F12何处打滑？2-2、已知各处的静摩擦系数相同，压力力始终相等，则可根据各处静摩擦力的大小进行判断12NN，12=..f大处先打滑111.fN212fN，2-3、已知各处压力、静摩擦力始终相等，则可根据各处摩擦系数大小进行判断12NN，12.ff.小处先打滑2-4、一般情况下的判断方法例5如图，半径为r、质量为m的三个相同刚性球两两接触放在水平桌面上，用一个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒（上下无底）将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁间均保持接触但无相互作用力.现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中.设四个球的表面、圆筒的内壁均由相同材料构成，其间的静摩擦系数均为（约为0.775）.问：R取何值时，用手轻轻向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？315ABDAD解研究系统已被提起的平衡状态对D球:0F竖直由得223sin3cos0Nfmg①f2f2mgN2N1f1只需研究球A和D球就行了！对所有的四个球：0F竖直由得134fmg⑤其受力如图对A球：0F竖直由得122cossin0ffmgN0F水平由得212cossin0NNf②③0AM由得120frfr④其受力如图N2mg223sin3cos0Nfmg122cossin0ffmgN212cossin0NNf①②③120frfr④134fmg⑤ABDADf2f2mgmgN2N2N1f1由③、⑤得1243mgff⑥⑥代入④（或者①）得2411cot33sinNmgmg⑦⑥、⑦代入②得1141cot33sinNmgmg⑧为使各物体间无滑动，还需满足：11;fN22.fN将⑥⑦⑧代入得：111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf⑨⑩111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf⑨⑩由于14cos(14cos)4所以只要⑩成立⑨必定成立.315将代入⑩：1514cos34sinABDADf2f2mgmgN2N2N1f1θ和R是对应的，通过确定θ就能确定R.由几何关系知cosOADAO23rRr由此可得23cosrRr211316rr3231.33r11解式得：11111cos,cos1616或者11rABCOABCrO为使D球不从中空处掉下去，R还需满足ROAr＞综上可知2323(1)(1)333rRr＜0cos30rr2(1)3r323133Rr