三大抽样分布及常用统计量的分布

数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即2分布t分布F分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密切的联系.在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用。三大抽样分布是后面各章的基础。第四节三大抽样分布及常用统计量的分布(卡方)—分布定义1:设总体,是的一个样本，则统计量X12    ,,...   ,nXXX222212nXXX的概率密度函数为10(0)txtxedxt其中()为函数。称统计量服从自由度为的分布，记作222212nXXX222~().n0x00x)2(21)(2122　　　　　　　　　　　　xnnexnxf ~ 01  XN,n201357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图5-4f(y)其图形随自由度的不同而有所改变.分布密度函数的图形2n注：自由度是指独立随机变量的个数，dfnn性质1：2分布的数学期望与方差设～，则E()=n，D()=2n.性质2：2分布的可加性设221122~(),~(),XnXn且12  ,  XX相互独立，则21212~()XXnnXXX2n222       3,1lim22txnXnXnPedtnxx性质：设则对任意实数有～2       ,2.  nnNnn这个性质说明当很大时，自由度为的分布趋于正态分布（）定理1设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(，2)的样本，则2212(~)()niiXn证明：由已知，有Xi～N(，2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则~  (0,1)iXN，且各iX相互独立，由定义1:得2221212  (~)().nniiiiXXn定理3:设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；X222122()(1)~(1)niiXXnSn(2)(4.1)(4.1)式的自由度为什么是n-1？从表面上看，21()niiXX是n个正态随机变量的平方和，iXX但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：11()nniiiiXXXnX=0这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.定理3：设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；X222122()())11~(niiXnSXn(2)(4.1)与以下补充性质的结论比较：性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(，2)的样本，则2212(~)()niiXn其几何意义见图5-5所示.其中f(x)是2分布的概率密度。f(x)xO2()n图5-5显然，在自由度n取定以后，的值只与有关。2()n2分布的上侧分位点222()222(),0     1,   ()( )()()nnXnPXnfxdxn定义：设对于给定的正数（）称满足条件　　　　　的点为～分布的上侧分位点。例如：当n=21，=0.05时，由附表3可查得，20.05(21)32.67，即2(21)32.670.05.P二、分布定义3:设随机变量X～N(0，1)，Y～2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量XTYn服从自由度为n的t分布，记作t分布的概率密度函数为T～t(n).1221()2()(1),()(     )2nntfttnnn其图象如图5-6所示，其形状类似于标准正态分布的概率密度函数的图象。当n较大时，t分布近似于标准正态分布。t定理4设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则统计量证：由于与S2相互独立，且X~(0,1),XUNn222(1)~(1)nSn由定义3得22~(1)(1)(1)XnXTtnSnnSn(n/ 1)XTSnt～定理5设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分别是来自正态总体N(1，2)和N(2，2)的样本，且它们相互独立，则统计量121212()~(2)(5.10)11nXYTtnnSnn其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn、21S22S分别为两总体的样本方差。1222122222122112212222222112212221212122X()(0,1)(1)(1)(1),(1)(1)(1)(2)3()(nn2)11nYNnnnSnSnnnSnSnnXYtTSSSnn～～～独证明：由例知且与相互，由分布的性立～质知知～再由定义分布的上侧分位点对于给定的(01)，称满足条件()()()tnPTtnftdt的点t(n)为t分布的上分位点。其几何意义见图5-7.f(t)tOt(n)图5-7tt分布的双侧分位点由于t分布的对称性，称满足条件2()(5.12)PTtn的数t/2(n)为t分布的双侧分位点。其几何意义如图5-8所示.f(t)tOt/2(n)/2/2-t/2(n)图5-8在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表。例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，t0.05(15)=,t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)可由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得。但当n45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.即当n45时，t(n)u一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.三、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5设随机变量X～2(n1)、Y～2(n2)，且与相互独立，则称随机变量12XnFYn记作F～F(n1，n2)，其概率密度函数为：11211222(1),0()0,0nnnnAyyyfyny其中11212122()2(),()()22nnnnAnnn其图形见图5-9(P108)。1X性质：若X～F(n1，n2)，则～F(n2，n1)。一、F分布的上侧分位点对于给定的(01)，称满足条件121212(,)(,)(,)()FnnPFnnFnnfydy的数F(n1，n2)为F分布的上侧分位点。其几何意义如图5-7所示。f(y)xO图5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度。F分布的上侧分位点F(n1,n2)的值可由F分布表查得.附表5、6、7(P258～P266)分=0.1、=0.05、=0.01给出了F分布的上分位数.当时n1=2,n2=18时，有F0.01(2,18)=6.01在附表5、6、7中所列的值都比较小，当较大时，可用下面公式查表时应先找到相应的值的表.122111()(,),FFnnnn例如，0.991()8,2F0.011()2,18F16.01≈0.166定理5.4为正态总体的样本容量和样本方差；222,nS222(,)N121,nS211(,)N设为正态总体的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量2212221212~(1,1)SSFnn证明由已知条件知22122212221212(1)(1)~(1),~(1)nSnSnn且相互独立，由F分布的定义有1221222111222212212222(1)(1)~(1,1)(1)(1)nSnSSFnnnSn正态总体样本均值的分布211~,niiXXNnn2~,XN设总体，是的一个样本,则样本均值服从正态分布X12,,...,nXXX11~0,1niiXXnUNnnU—分布2—分布~0,1XN定义设总体，是的一个样本,则称统计量服从自由度为的分布，记作.X12,,...,nXXX222212nXXX222~()n自由度是指独立随机变量的个数，dfn个相互独立的标准正态分布之平方和服从自由度为的分布。nnn2—分布定义5.4设随机变量～N(0,1)，～2(n)，且X与相互独立，则称统计量XTYn服从自由度为n的t分布或学生分布，记作T～t(n).分布的密度函数的图象相似于标准正态分布的密度函数。当n较大时，分布近似于标准正态分布。20,1~()()NtnnnYYYtttF分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5设随机变量X～2(n1)、Y～2(n2)，且X与Y相互独立，则称随机变量12XnFYn记作F～F(n1，n2).21121222)~,)nnFnnnn（（例1设总体X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？22343211212242(1)31(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX解(1)因为Xi～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，12~(0,1),2XXN22342~(2),XX故223412XXXX223412()22XXXX～t(2).例1设总体X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？22343211212242(1)31(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX续解(2)因为Xi～N(0,1)，故～t(n-1).222~(1)niiXn1221niinXX122(1)niiXXn例1设总体X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？22343211212242(1)31(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX续解(3)因为所以～F(3，n-3).3221~(3),iiX224~(3),niiXn32124(1)3iiniinXX321243(3)iiniiXXn例2：若T～t(n)，则T2～F(1,n).证明：因为T～t(n)，可以认为,UTVn其中U～N(0,1)，V～2(n)，22,UTVnU2～2(1)，221UTVn～F(1,n).例3：设总体X～N(,42)，X1，X2，…，X10是n=10简单随机样本，S2为样本方差，已知P{S2}=0.1,求.解：因为n=10，n-1=9，2=42，所以2294S～2(9).又P{S2}=22299{}44SP=0.1，所以220.19(9)4≈查表14.684.故≈14.684x169≈26.105