5.4-三大抽样分布

§5.4三大抽样分布本次课教学目的：掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论重点难点:三大抽样分布的构造及其抽样分布一些重要结论教学基本内容及其时间分配三大抽样分布的构造性定义——————30分钟定理及其三个推论以及证明——————70分钟根据本节课的特点所采取的教学方法和手段:启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象引言有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中的“三大抽样分布”.若设是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布如表5.4.1所示.mnyyyxxx,,,,,21215.4.1分布(卡方分布)2nnGaXGaXNXniiii2122221,2~21,21~)1,0(~伽玛分布的可加性问题：如何确定的分布？20,221)(21222yeynypnynn分布的密度函数为于是,2nEnVar2)(2图像：密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布数字特征：4n6n10n4n6n10n20n1))((212nP)10(当随机变量2)(2n～时，对给定的，称满足－1)(21n的是自由度为n的卡方分布的分位数.31.181010295.0205.01）＝（）＝（－)10(25.4.2F分布其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.,~21mX1X2X与定义5.4.2设,~22nX独立，则称nXmX21＝F的分布是自由度为m与n的F分布,记为nmFF,~问题：如何确定的分布？F首先，我们导出21XXZ的密度函数ZmnF第二步，我们导出的密度函数0,221)()(~0,221)()(~2212222222121212112121xexnxpnXxexmxpmXxnnxmm首先，我们导出21XXZ的密度函数221212nmzzzpnmmz于是dueuunm0122nm01222212zzznmnmnmmzxu122做变换令2222102)(dxxpzxpxzpZ21201222122222dxexnmzzxnmnmmZ的密度函数为ZmnF第二步，我们导出的密度函数nmynmynmnmnmnmynmpypnmmZF212122221221222nmmmynmynmnmnm这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。）40n10n4n1n.1),(1,),10(),,(~11分位数分布的的与是自由度为的称满足对给定的若FnmnmFnmFFPnmFF1,1nmFFP)10,4(F分位数分布的的即是自由度为于是查表知给定95.0)10,4(48.3)10,4(95.048.3)10,4(,10,4,05.095.0FFFPnm有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~F(n,m),故对给定10，mnFFPmnFFP,1,11,1mnFFPnmFmnF,1,11,1nmFFP数？的时候，如何确定分位比较小比较大问题：当)1(74.451051095.005,01，，FF3.033.3110,515,1095.005.0FF例5.4.1若取m=10,n=5,=0.05,那么从附表5上查得nmFmnF,1,1由5.4.3t分布定义5.4.3nXNX221~10~，，21XX与设随机变量独立且nXXt/21ntt~则称的分布为自由度为n的t分布，记为问题：如何确定的分布？t由标准正态密度函数的对称性知，有相同分布，与11XX从而t与-t有相同分布。)(21)0()0()0()0(22ytPytPtyPytPytP),1(~/22212nFnXXt由于所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：.,)1()2()21()11()()2()21()1)(21()()(2122121212212ynynnnyynynnnyypypnnFt这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。)1,0(N)4(t)1(t●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；●ｎ1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。●ｎ1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)；●当自由度较大时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似(见下页图)30n比如)1,0(N)40(tN(0，1)和t(4)的尾部概率比较c=2c=2.5c=3c=3.5X~N(0,1)0.04550.01240.00270.000465X~t(4)0.11610.06680.03990.0249cXp)(~ntt1))((1nttP)(1nt当随机变量时称满足的是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。)()(1ntnt812.1)10()10(95.005.0tt由于ｔ分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系譬如。812.1)10()10(95.005.01tt)(1nt那么从附表4上查到可以从附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05,分位数5.4.4一些重要结论的样本，其样本nxx,,1),(2Nniixnx11niixxns122)(11x2s),(~2nNx)1(~)1(222nsn定理5.4.1设是来自正态总体均值和样本方差分别为和则有（1）与（2）（3）相互独立；证明记TnxxX),,(1，则有)(XEIXVar2)(取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为n1,如)1(1)1(1)1(1)1(10231231231001211211111nnnnnnnnnnnnnA令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，其均值和方差分别为00nEXAEYTTAIAAXVarAYVar2)(）（IAAT222由此，TnyyY),,(1且都服从正态的各个分量相互独立，分布，其方差均为,而均值不完全相同，nyE)(10)(2yE0)(nyEnyExE1)(nNxnyVarnxVarnyExE2211,~11)()(niiTTniTixAXAXYYy1212由于niiniiniiniiyyyxnxxxsn122112212122)()()1(所以这证明了结论（1）这证明了结论（2）)1(~)()1(22222nysnnii)1,0(~,0~2NyNyii由于这证明了结论（3）推论5.4.1在定理5.4.1的记号下，有)1(~)(ntsxnt)6.4.5(1/)1(/)(22nsnnxsxn将5.4.4左端改写为由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为n-1的t变量除以它的自由度，且分子与分母相互独立，由t分布定义可知，t~t（n-1），推论证完。证明由定理5.4.1（2）可以推出)5.4.5()1,0(~/Nnxmxx,,1)(21,1Nnyy,,1)(22,2N,)(11,)(11122122niiymiixyynsxxms推论5.4.2设是来自的样本，是来自的样本且此两样本相互独立，记)1,1(~//222212nmFssFyx)1,1(~/22nmFssFyxniimiiynyxmx111,1其中则有2221特别，若，则2xs2ys)1(~)1(2212msmx)1(~)1(2222nsny证明:由两样本独立可知，与相互独立且由F分布定义可知F~F（m-1，n-1）222212)()(2)1()1(1212222nmyyxxnmsnsmsniimiiyxw)8.4.5()2(~11)()(21nmtnmsyxw推论5.4.3在推论5.4.2的记号下，设,并记则,/,~21mNx)/,(~22nNy))11(,(221nmNyx).1,0(~11)(-)y-x(21Nnm)2(~)1()1()2(2222222nmsnsmsnmyxw分布可加性证明由xy与独立由定理5.4.1知，)1(~)1(222msmx)1(~)1(222nsny独立，2wsyx与又相互独立，根据t分布的定义即可得到（5.4.8）.思考题及作业题:三大抽样分布之间的内在关系是什么？作业题：P277必做：1，2，5，11，13选做：8，12