5.4三大抽样分布

三大抽样分布卡方分布、t分布、F分布一、2—分布1、定义：设n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布，Xi~N(0,1)，i=1,2,…,n，则)(~2122nXnii称为自由度为n的2分布。n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从2(n)。2—分布的密度函数f(y)曲线0,00,)(212)2/(212/yyeyyfynnn2、性质(1)nE)(2nVar2)(2(2)2分布的可加性)(~121nX)(~222nXX1,X2相互独立，则X1+X2~2(n1+n2)例1),(~2NX(X1,X2,X3)为X的一个样本求232221XXX的分布。解因为(X1,X2,X3)为X的一个样本,则)1,0(~NXii=1,2,3)3(~2232221XXX3、2分布表及分位数的计算(1)构成分位数可查表得出卡方分布的已知1,;1))((212nnP)(21nαn=10,α=0.051、定义若X~N(0,1)，Y~2(n)，X与Y独立，则).(~ntnYXTt(n)称为自由度为n的t—分布。二、t—分布例2),(~2NX(X1,X2,X3)为X的一个样本，求23221)()()(2XXX的分布),(~2NXi)1,0(~NXii=1,2,3)2(~22322XX)2(~223221tXXX)1,0(~1NX)2(~)()()(223221tXXX解：t(n)的概率密度为tntnnntfn,)1()2()21()(2122、基本性质:(1)f(t)为偶函数，图像关于y轴对称；(2)当自由度较大时，t分布可以用N(0,1)近似(3)n1时，数学期望存在为0(4)n2时，方差存在为n/(n-2)练习分布服从使得求参数），（独立同分布于设tXXXXcYcXXX2423212n2120N,,C=1时，服从自由度为2的t分布3、t分布表及有关计算(1)构成：分位数分布的可查表得出已知1,;1))((1tnnttP)(1nt1-α)()(1ntnt（2）对称性n=10,α=0.05)(1nt)(ntαα)10(05.0t求三、F—分布1、定义若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y独立，则),(~2121nnFnYnXF称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F—分布，其概率密度为0,00,)1)(2()()/)(2()(2/)(2122122/212121111yyynnnynnnnyhnnnnn问题：1/F服从什么分布？例3(X1,X2,…,X5)为取自正态总体X~(0,σ2)的样本，求统计量)(2)(32524232221XXXXX的分布解),0(~2NXi)5,,2,1(i)1,0(~0NXXii)2(~22221XX)3(~2252423XXX)3,2(~322524232221FXXXXX)3,2(~)(2)(32524232221FXXXXX(1)构成2、F分布性质及有关计算分位数分布的的与的自由度为，的，满足对给定的1n)(F-1n))(FP(F,-1-1Fnmmm),(1nmFα),(1),()2(1nmFmnF关系：),1(~),(~)3(2nFTntT则若)10,5(05.0F查表求例3总体X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,X16)为一个样本，求161222)(1612iiXP解),(~2NXi)1,0(~NXi16,,2,1i)16(~21612iiX161222)(1612iiXP16)16(82P8)16(16)16(22PP4249.0051.04759.0ba和求若的样本，相互独立都取自总体，，，设),2(~)4X-b(3X)2X-a(XN(0,4)~XXXXX.122432214321解：a=1/20,b=1/100))(t|(|))(t())(t(1)(t.21111nTPnTPnTPtn分位数分布的为设1-αα2α)1,0(~NnXU证明niiXnX11组合，故服从正态分布。niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(~2nNX1、若),(~,,,221NXXXn则是n个独立的正态随机变量的线性)1,0(~NnXU三、有关正态总体的几个主要结果2、设(X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样本，则(1)(2)nNX2,~)1(~)1(222nSn(3)X与S2独立3、设(X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样本则)1(~ntnSX证明(X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样本则由定理中的1、2可知)1,0(~NnX)1(~)1(222nSnX与S2独立且)1(~)1()1(22ntnSXnSnnX例题•判断正误•(A)(B)•(C)(D)是取自该总体的样本，设总体nXXXN21,(0,1)~X(0,1)~NX(0,1)~NXn)1(~ntSX)(~212nXnii4、设(X1,X2,…,Xm)是N(μ1,σ12)的样本，(Y1,Y2,…,Yn)是N(μ2,σ22)的样本，且相互独立，Sx2，Sy2是样本方差，则)1,1(~222212nmFSSFyx)1(~)1(2212msmx)1(~)1(2222nsny证明)1,1(~1)1(1)1(212212nmFnsnmsmyx,假定进一步,2221)1,1(~22nmFSSFyx5、2)1()1(s222wnmsnsmyx令且相互独立样本),,(~,,,22221NYYYn)1,0(~)()(222121Nmnyx，设样本),(~,,,21121NXXXn则,2221设)2-nm(t~11s)()(w21mnyx则例4设总体X~N(10,32)，(X1,X2,…,X6)是它的一个样本，设61iiXZ(1)写出Z所服从的分布；(2)求P(Z11)。解因为(X1,X2,…,X6)是X~N(10,32)的一个样本，因此Xi~N(10,32)，且Xi相互独立，i=1,2,…,6，所以)36,60(~261NXZiiP(Z11))11(1ZP3660111)668.6(11)668.6(5、设(X1i,X2i,…,Xnii)是来自具有相同方差σ2，均值为μi的正态总体N(μi,σ2)的样本，i=1,2,…,t，且设这t个样本之间相互独立，设分别是第i个总体的样本均值和样本方差，i=1,2,…,t，则有(1)2t个随机变量injjiiiXnX11injijiiiXXnS122)(11;,,,21tXXX22221,,,tSSS是相互独立的。(2))(~)()1(22112212tnXXSntinjijiniiii其中tnnnn21(3)当t=2时，有)2(~112)1()1()()(2121212222112121nntnnnnSnSnXX