5-三大抽样分布

2三大抽样分布1、分布(卡方分布)定义1设nXXX,,,21相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则niinX122)(~n自由度为nn,nnE2)(Var)(122例如)()()(22122121222121nnXXX,X,nX,nX＋～＋则相互独立，若正态分布时，)(32nn分位数有表可查分布的)(42n分布的性质)(2n51015200.020.040.060.080.1n=1095030718)10(30718)10(22590..P...)4,0(12121分布服从使的样本，求是来自，，设例niinXTCNXX.,1)21Ga(~2211分布服从使求的样本，是来自总体，，设例niinXkTkXXX2、F分布则称F服从为自由度为m,n的F分布.0,001222),,(2122tttnmtnmmΓnΓmnΓmntpmnmm定义2X,Y相互独立，设令,n~Y,m~X)()(22n/Ym/XF),(nmF~函数密度1234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10),(nmF____________~)1()4,0(3222211nnXXXnNXX的样本，则是来自，，设例F分布的性质:),(1),(11有表可查分位数的nmFnmF.),(~/1),(~2mnFFnmFF，则若1))((1n,mFFP1234560.10.20.30.40.50.61F),(1),(1mnFnmF：利用以上性质可得结论例如),(1),(1mnFnmF利用19.51)5,4(1)4,5(59.050.0FF可知19.5)5,4(59.0F查表?,F.)45(500分位数表如表，给出了分位数较大时的注：书末的分位数表只99.0,95.03、t分布(Student分布)定义3则称T服从自由度为n的t分布.其密度函数为nYXttntnnntpn2121221)(X,Y相互独立,设)(nt~,n~Y,,N~X)()10(2____________~5)1,0(42521661XXXNXX的样本，则是来自，，设例t分布的性质3°pn(t)是偶函数,形状与正态分布密度很相近,且)1,0()(,Ntpnn),1(~),(~2nFtntt则若1°.)1,0(:)1,0(有着更大的概率分布比在尾部的一个重要区别分布和注：NtNt)(~),(~nttntt则若2°t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1-3-2-11230.10.20.30.4(0,1)N~X(4)t~X2c04550.11610.2.5c01240.06680.3c00270.03990.3.5c0004650.02490.)|(|cXP.)1,0(:)1,0(有着更大的概率分布比在尾部的一个重要区别分布和注：NtNt4°t分布的分位数t有表可查.))((nttP的分位数有如下结论：对于)(nt0)()1(5.0nt)(-)()2(1ntnt-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t(n)1tαt)10(50.0t例如求8125.1-)10(,8125.1)10(50.095.0tt则通过查表2122)(//tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2••??c求/2/221/t05.0),10(~cTPtT例如已知2281.2)10(597.0tc结论注：后面经常会用到的证2XY例2)1()]([1212n,Fnt证明：)1()(1212n,Fnt即设令nnnnG)/()/11()/(2222),1(~nF2()~(),,~(0,1)nXTnXGGNn)(21nt|X|P)(2212ntXP1)(2212ntXP)Var()Cov()Cov()Cov()Var()Cov()Cov()Cov()Var(2122121211nnnnnXX,XX,XX,XXX,XX,XX,XX正态分布的一些结论元中用到的关于在下面的定理证明过程nTn,X,,XXX)(21设随机向量),(BEXN~Tn,EX,,EXEXEX)(21望其中随机向量的数学期)-)(-(TEEEXXXXB协方差矩阵一些结论：.))Var(),(E(~1iiiiXXNXX布，且的边际分布还是正态分、I2,1).(~21iinEXNXXXX相互独立，且，，，则)-)(-(TEEEXXXXB、若2Tn,X,,XXX)(321、随机向量),(BEXN~))(),((~,)()(),()(YVarYENYAXAVarYVarXAEYEAXYT且，则有若4、抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体)1()1(22122n~XXSnnii22)1(Sn与X相互独立设总体,样本为(),则)(2n,N~X)10(,N~nX)1(nt~nSXSnX(1)(2)2~(,)XNTnX,,X,XX)(21记T,,EX1)(11)(11)(11)(1001211211111nnnnnnnnnnnnnA如下令A,AXY证明：EXAEYT,,n00,TAXAY)Var()Var(TAIA2IAAT22)(2I,EYN~Y可知TAXAY)Var()Var(TAIA2IAAT22niiXXSn122)1(212)(XnXniiniiniiYYY222112)()(2I,EYN~Y可知11YnX.SX独立与可知2