指数函数及其性质

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数表达式是：探究细胞分裂过程细胞个数第一次第二次第三次2=218=234=22…………第x次……细胞个数y关于分裂次数x的表达式为2xy=2x引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式？y654321x20.8530.8540.8550.8560.850.85xy85.0由上面的对应关系可知，函数关系是：列表：xy84.0我们从以上两个引例中，抽象得到两个函数:这两个函数有何特点?xy85.0y=2x解析式共同特征xy=2探究指数幂形式自变量在指数位置底数是常量xy84.0知识要点指数函数定义：形如y=ax(a0，且a1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.探究1：为什么规定a0，且a1?01a思考讨论：当a0时，ax有些会没有意义，如当a=0时，ax有些会没有意义，如当a=1时，ax恒等于1，没有研究的必要.a0，且a1.123;(3)120;20探究2:函数是指数函数吗？有些函数貌似指数函数，实际上却不是.指数函数的解析式中，的系数是1.xayxa有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.),10(Zkaakayx且如：)10(aaayx且如：)1101()1(aaayx且因为它可以转化为：xy32形如y=ax(a0，且a1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.判断一个函数是指数函数的标准：①ax的系数是1②底数a是常量，a0，且a1③指数是变量1.下列函数是指数函数的是（）A.y=(-3)xB.y=3x+1C.y=-3xD.y=3-x2.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的值.解：由指数函数的定义有a2-3a+3=1a＞0a≠1∴a=2a=1或a=2a＞0a≠1解得D小练习知识要点指数函数图像：)1a,1(且axay（见下图）.32的图象和用描点法作函数xxyyx…-3-2-10123…y=2x…1/81/4½1248…y=3x…1/271/91/313927…函数图象特征1xyo123-1-2-3xy2xy3x…-3-2-10123…y=2-x…84211/21/41/8…y=3-x…279311/31/91/27…XOYY=1.)31()21(的图象和用描点法作函数xxyy函数图象特征xy)21(xy)31(XOYY=1y=3Xy=2x观察右边图象，回答下列问题：问题一：图象分别在哪几个象限？问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：图象中有哪些特殊的点？答四个图象都在第＿＿＿＿象限。答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．答：四个图象都经过点＿＿＿＿．Ⅰ、Ⅱ1a01a)1,0(xy)21(xy)31(XOyy=1y=3Xy=2x观察右边图象，回答下列问题：xy)21(xy)31(问题四：指数函数图像是否具有对称性？答：关于y轴对称。答：不关于y轴对称不关于原点中心对称xy)21(问题五：函数与图象有什么关系？xy3xy)31(当底数a)10(aa且取任意值时，指数函数图象是什么样？结论:y=ax与y=a-x关于y轴对称.指数函数的图象和性质a10a1图象xy0y=1y=ax(a1)y0(0a1)xy=1y=ax(0,1)a10a1图象特征a10a1性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近.1.定义域为R，值域为(0,+).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下和右上两个区域内4.图象分布在左上和右下两个区域内4.当x0时,y1;当x0时,0y1.4.当x0时,0y1;当x0时,y1.非奇非偶函数不关于y轴对称不关于原点中心对称例1、求下列函数的定义域：解：①②303xx由，得①212xy②313xy应用示例：R]3-，定义域为（例2已知指数函数f(x)=ax(a0,且a≠1）的图象经过点（3，π），求f(0)、f(1)、f(-3)的值.分析：f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=ax的解析式，也就是要先求a的值.根据函数图像过点（3,π）这一条件,可以求得底数a的值.解：因为f(x)=ax的图像过点（3,π）,所以f(3)=π即a3=π,解得,于是所以f(0)=π0=1，.f,f131133131a3xxf举例例3比较下列各题中两个值的大小：解：(1)考察指数函数y=1.7x.由于底数1.71,所以指数函数在R上是增函数.∵2.53∴1.72.51.73(2)0.8–0.10.8–0.2(3)由指数函数的性质知1.70.31.70=1,0.93.10.90=1即1.70.31,0.93.11,∴1.70.30.93.1(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2(3)1.70.3,0.93.1.探究总结比较指数大小——常用方法，如下①构造函数法：利用指数函数的单调性.适用于同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量需要注意分类讨论.②搭桥比较法：用别的数如0或1做桥.适用于不同底不同指.课堂小结1、指数函数概念函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.◆方法指导:研究指数函数时，将a分为a1和0a1分别讨论研究.a10a1图象性质1.定义域：R2.值域：（0，+∞）3.过点（0，1），即x=0时，y=14.在R上是增函数在R上是减函数2.指数函数的的图象和性质：方法:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像。xy0y=1y=axy0xy=1y=ax(0,1)