数学必修二讲义

1第1讲空间几何体的结构新知新讲题一：下列几何体中是棱柱的有（）A．1个B.2个C.3个D.4个题二：判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.题三：充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（）第2讲空间几何体的三视图与直观图新知新讲题一：请画出圆柱和圆锥的三视图.题二：请画出下面不同放置情况的正三棱柱的三视图.2题三：一个几何体的三视图如图，请说出它对应的几何体的名称.侧视图俯视图正视图（1）(2)（3）baDEABCFabFEDCBA3（4）(5)题四：一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()题五：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.4题六：用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体的直观图.第3讲空间几何体的表面积与体积新知新讲题一：将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2题二：已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比是()A.12π2πB.14π4πC.12ππD.14ππ题三：两个球的体积之比为8：27，则它的表面积之比为()A.2：3B.4：9C.1：2D.1：3金题精讲题一：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为()A.1B.12C.13D.165题二：已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积.(单位：cm)题三：已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，O为上底面A1B1C1D1的中心，E为棱A1B1上一点，则AE+EO的长度的最小值是___________.第4讲空间几何体综合（一）金题精讲题一：下图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸，可知几何体的表面积是（）A．18＋3B．16＋23C．17＋23D．18＋23题二：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）6A.16+8B.8+8.C.16+16D.8+16题三：一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（）A．48＋122B．48＋242C．36＋122D．36＋242第5讲空间几何体综合（二）金题精讲题一：如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF为该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．7题二：在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，(1,1,2)D.若123,,SSS分别是三棱锥DABC在,,xOyyOzzOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．123SSSB.1223SSSS且C.1323SSSS且D.3213SSSS且题三：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关第6讲空间点、直线、平面之间的位置关系(一)新知新讲题一：用符号表示下列语句，并画出相应的图形.(1)点A在平面内，但点B不在平面内；(2)直线a经过平面外的一点M；(3)直线a既在平面内，又在平面内.题二：(1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)共点的三条直线可以确定几个平面？8(3)三条直线两两平行，可以确定几个平面？(4)三条直线两两相交，可以确定几个平面？题三：判断下列说法是否正确(1)经过三点确定一个平面(2)经过一条直线和一点确定一个平面(3)四边形确定一个平面(4)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面(5)平面与平面相交，只有有限个交点(6)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合金题精讲题一：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.题二：已知三角形ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB，BC和AC延长后与平面的交点分别为P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一条直线上.第7讲空间点、直线、平面之间的位置关系(二)新知新讲题一：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.若加上AC=BD，那么四边形EFGH是什么四边形？题二：正方体ABCDABCD中，(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？9题三：过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行.题四：判断下列命题是否正确(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；(2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都不相交.题五：如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对题六：已知平面α//平面β，直线aα，则直线a与平面β的位置关系为_______.金题精讲题一：平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面题二：如果直线a//平面α，那么直线a与平面α内的()A.唯一一条直线不相交B.仅两条相交直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交题三：下列四个命题中假命题的个数是()①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行A.4B.3C.2D.1题四：若三个平面两两相交，则它们交线的条数是()A.1B.2C.3D.1或3第8讲直线、平面平行的判定新知新讲题一：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.10题二：已知正方体1111ABCDABCD，求证：平面11ABD//平面1CBD.金题精讲题一：如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1//平面BC1D.题二：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：平面AMN//EFBD.ABCDA1B1C1D111第9讲直线、平面平行的性质新知新讲题一：有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面AC，要经过木料表面ABCD内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？题二：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.金题精讲题一：如图，α//β，点P是平面α，β外的一点，直线PAB、PCD分别于α，β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC//BD；(2)已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长.12题二：如图所示，四面体A-BCD被一个平面所截，截面EFGH是一个矩形.(1)求证：CD//平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角.第10讲直线、平面垂直的判定新知新讲题一：判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)正方体ABCDABCD中，棱BB和底面ABCD垂直.(2)正三棱锥PABC中，M为棱BC的中点，棱BC和平面PAM垂直.13D'C'B'A'DCBAMPABC题二：如图，AC是Rt△ABC的斜边，过A点作△ABC所在平面的垂线PA，连PB、PC．问：图中有多少个直角三角形？PABC金题精讲题一：在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.14题二：已知空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点，求证：(1)平面ABE⊥平面BCD；(2)平面ABE⊥平面ACD.第11讲直线、平面垂直的性质新知新讲题一：已知两个平面互相垂直，那么下列命题中正确命题的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线15②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A.4B.3C.2D.1题二：已知直线l⊥平面，直线m平面，有下列四个命题：①;lm②;lm③;lm④;lm其中正确的两个命题是()A.①②B.③④C.②④D.①③金题精讲题一：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别在直线BD、B1C上，且MN⊥BD，MN⊥B1C，求证：MN//AC1.题二：如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：(1)AE⊥SB；(2)AG⊥SD.16第12讲二面角习题课题一：如图，在正方体中：(1)求二面角D’—AB—D的大小；(2)求二面角A’—AB—D的大小.题二：如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=23，VC=1，求二面角V—AB—C的平面角的度数.第13讲期中期末串讲——空间点线面位置关系综合（一）金题精讲题一：用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：17①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④题二：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPB，且侧面PAB平面ABCD，点E是棱AB的中点．（Ⅰ）求证：//CD平面PAB；（Ⅱ）求证：PEAD；（Ⅲ）若CACB，求证：平面PEC平面PAB.第14讲期中期末串讲——空间点线面位置关系综合（二）金题精讲题一：如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.18题二：定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点第15讲直线的倾斜角与斜率新知新讲题一：已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0,－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.题二：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2，3的直线.金题精讲题一：已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如下图所示，则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k219题二：已知A(－2,1)、B(2,3)、C(1,－1)，直线l经过点C与线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.题三：下列各组中，三点共线的是()A.(1,4)，(－1,2)，(3,5)B.(－2,－5)，(7,6)，(－5,3)C.(1,0)，(0,13)，(7,2)D.(0,0)，(2,4)，(－1,3)第16讲用斜率判定直线的平行与垂直新知新讲题一：已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系.题二：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状.金题精讲题一：判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直.(1)l1经过A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2