轴对称――最短路径问题

轴对称最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）饮马问题如图，牧马人从马棚A牵马到河边l饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？ABlABllABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC+CB的和最小？分析：ABl如果点A、B在直线l的异侧时联想：lABC思考：能把A、B两点从直线l的同侧转化为异侧吗？分析：lABClABC作法及思路分析1.作点B关于直线l的对称点B′，连接CB′。，问题可以转化为：当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.lABCB′2.由上步可知AC+CB=AC+CB′，思考：当C在直线l的什么位置时AC+CB′最短？lABCB′C′略证：试比较新路径与AB′的大小结论：AC+CB这条路径最短．根据前面的分析，我们认为的最短路径是AC+CB=AC+CB′=AB′在直线l上取一个与C点不重合的点C′新路径=AC′+C′B=AC′+C′B′问题1归纳lABClABCB′lABC转化为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl提示：本题也可作A点关于直线l的对称点变式练习1如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚A.小河A问题：请你确定这一过程的最短路径.如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在l1、l2的什么位置?l1l2AMNA’A’’转化为数学问题l1l2走A-M-N路线最短.MNA’AA’’ABPQlMN变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线。l2l1PQABA’B’l1l2(3)两点在两相交直线内部归纳小结2.关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决(2)一点在两相交直线内部(1)两点在一条直线同侧l1l2l1l21.学了三种情况下的最短路径问题（1）如图所示，A，B两点在直线l的一侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．（2）若A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．AB