2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第二章第3讲函数的奇偶性与周期性

考纲要求考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.以函数的奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值的大小、解函数不等式及求参数的取值范围是本节考查的重点．2．研究函数性质时可以将抽象的函数具体化、直观化(利用图象).第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性的定义(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________[或_____________]，则称f(x)为奇函数．奇函数的图象关于____对称．(2)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________[或____________]，则称f(x)为偶函数．偶函数的图象关于___轴对称．(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0yf(－x)＝f(x)2．函数的周期性的定义对于函数f(x)，如果存在一个__________T，使得定义域内的每一个x值，都满足_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的______．非零常数f(x＋T)＝f(x)周期DA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数)C2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(1．函数y＝1－x＋x－1是()A．y＝exB．y＝x12C．y＝x3D．y＝cosxCA．y轴对称C．坐标原点对称B．直线y＝－x对称D．直线y＝x对称3．函数f(x)＝1x－x的图象关于()4．(2011年浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝_____.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即x2－|x＋a|＝(－x)2－|x＋a|⇒|x＋a|＝|x－a|，∴a＝0.05．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝_______.－0.5解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.考点1判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝x＋1x；(3)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；(4)f(x)＝x1－xx0，x1＋xx0；(5)f(x)＝1－x2＋x2－1；(6)f(x)＝2x＋12x－1.解：(1)函数的定义域为x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(2)此函数的定义域为{x|x0}．由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)去掉绝对值符号，根据定义判断．故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.由1－x2≥0，|x＋2|－2≠0，得－1≤x≤1，x≠0且x≠－4.故f(x)为奇函数．(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．故函数f(x)为奇函数．从而有f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x.∴f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．(5)此函数的定义域为{－1,1}，且f(x)＝0.可知图象既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．∴f(x)是奇函数．(6)函数的定义域为2x－1≠0，即x≠0.∵f(－x)＝2－x＋12－x－1＝2x＋12x1－2x2x＝－2x＋12x－1＝－f(x)，(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则x∈D时都有－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域．(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明．(3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题f(－x)±f(x)＝0或f－xfx＝±1[f(x)≠0]来判断．【互动探究】域均为R，则()BA．f(x)与g(x)均为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数1．(2010年广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．解析：对于y＝ax＋1ax－1，f(－x)＝a－x＋1a－x－1＝ax＋11－ax＝－f(x)为奇函数；对于y＝lg1－x2|x＋3|－3＝lg1－x2x，显然为奇函数；y＝|x|x显然也为奇函数；对于y＝loga1＋x1－x，f(－x)＝loga1－x1＋x＝－loga1＋x1－x＝－f(x)为奇函数．2．下列函数中是奇函数的有几个()①y＝ax＋1ax－1；②y＝lg1－x2|x＋3|－3；③y＝|x|x；④y＝loga1＋x1－x.A．1B．2C．3D．4D考点2利用函数的奇偶性求函数解析式例2：设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．解：f(x)是奇函数．∵当x＜0时，－x＞0.∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)．∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－3x)．∴f(x)＝x1＋3x，x∈[0，＋∞，x1－3x，x∈－∞，0.【互动探究】3．(2011年广东广州综合测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，则当x0时，f(x)的解析式为_______________.f(x)＝－x3－x24．(2011年安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()AA．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用A例3：(2011年全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝()A．－12B．－14C.14D.12解析：由f(x)是周期为2的奇函数，利用周期性和奇偶性得：f－52＝f－52＋2＝f－12＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.值的方法．关键是通过周期性和奇偶性，把自变量－—转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数52[0,1]上进行求值．【互动探究】5．(2011年山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()BA．6B．7C．8D．9解析：因为当0≤x2时，f(x)＝x3－x，又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝0，f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7个，故选B.DA．abcC．cbaB．bacD．cab6．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝lgx，设a＝f65，b＝f32，c＝f52，则()解析：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝lgx.设a＝f65＝f－45＝－f45，b＝f32＝f－12＝－f12，c＝f52＝f120，∴cab.易错、易混、易漏5．判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出下列四个函数：①y＝lg2－x2＋x；②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)，其中奇函数是______，偶函数是____.正解：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有f(－x)＝－f(x)，所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，因此为非奇非偶函数．①②③【失误与防范】在判断一个函数的奇偶性时，必须注意其定义域．一个函数具有奇偶性的前提是此函数的定义域关于原点对称．对于函数f(x)定义域中的任意x，总存在一个常数T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则T是函数y＝f(x)的一个周期．(1)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．(3)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．(4)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝1fx(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期．1－fx1＋fx(a≠0)，则T＝2a是它(5)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝的一个周期．(6)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则T＝2|b－a|是它的一个周期．(7)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于点(a,0)与x＝b对称，则T＝4|b－a|是它的一个周期．对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，则称f(x)为奇(偶)函数．因此在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性．