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第20讲┃等腰三角形第20讲┃考点聚焦考点聚焦考点1等腰三角形的概念与性质定义有________相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：____________)性质定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”两边1等边对等角中线第20讲┃考点聚焦(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高拓展(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高第20讲┃考点聚焦考点2等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：____________)(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形拓展(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边第20讲┃考点聚焦考点3等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______性质等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴(1)三个角都相等的三角形是等边三角形判定(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等60°3第20讲┃考点聚焦考点4线段的垂直平分线定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点____________的所有点的集合相等垂直平分线距离相等第20讲┃归类示例归类示例►类型之一等腰三角形的性质的运用命题角度：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形“三线合一”的性质；3.等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质.第20讲┃归类示例[2013·苏州]如图20－1,△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC长．图20－1第20讲┃归类示例[解析](1)利用AC的垂直平分线交AB于点E和等边对等角求解．(2)证明△BEC是等腰三角形．解：(1)解法一：∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°.解法二：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠ECD＝∠A＝36°.第20讲┃归类示例(2)解法一：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，则∠BEC＝72°＝∠B，故BC＝EC＝5.解法二：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.第20讲┃归类示例(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．►类型之二等腰三角形的判定第20讲┃归类示例命题角度：等腰三角形的判定．[2011·扬州]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．图20－2第20讲┃归类示例[解析](1)利用△BDC≌△CEB证明∠DCB＝∠EBC；(2)连结AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明结论．第20讲┃归类示例解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DCB＝∠EBC,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．第20讲┃归类示例(2)点O在∠BAC的平分线上，连结AO.∵△BDC≌△CEB，∴BD＝CE.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O在∠BAC的平分线上．第20讲┃归类示例要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．►类型之三等腰三角形的多解问题第20讲┃归类示例命题角度：1.遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；2.遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．[2012·广安]已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝12BC，则△ABC底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．60°C第20讲┃归类示例[解析]首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．如图(1)：AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC，∠ADB＝90°.∵AD＝12BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，即此时△ABC底角的度数为45°；第20讲┃归类示例如图(2)，AC＝BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∵AD＝12BC，∴AD＝12AC，∴∠C＝30°.∴∠CAB＝∠B＝180°－∠A2＝75°，即此时△ABC底角的度数为75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.故选C.第20讲┃归类示例因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．►类型之四等边三角形的判定与性质第20讲┃归类示例[2012·苏州]数学课上，李老师出示了如下框中的题目．图20－3在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图20－3.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：第20讲┃归类示例(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB(填“”“”或“＝”)．①②图20－4第20讲┃归类示例(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“”“”或“＝”)．理由如下：如图21－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．第20讲┃归类示例解：(1)＝(2)＝方法一：如图，等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，且ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE，又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD.第20讲┃归类示例方法二：在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.∴△EFC≌△DBE，∴DB＝EF，而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.∴AE＝DB.(3)1或3.